Упр.44.25 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) $$y=\sqrt{x^2-6x+8}$$; б) $$y=\sqrt{5x-2-2x^2}$$.

Найдём производные и исследуем их знак.

а)

$$y=\sqrt{x^2-6x+8}$$

Пусть $$u=x^2-6x+8,$$ тогда $$y=\sqrt{u}$$ и

$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{2x-6}{2\sqrt{x^2-6x+8}}=\frac{x-3}{\sqrt{x^2-6x+8}}.$$

Область определения функции задаётся неравенством

$$x^2-6x+8\ge 0,$$

откуда

$$(x-2)(x-4)\ge 0, \qquad x\in(-\infty;2]\cup[4;+\infty).$$

Так как знаменатель производной неотрицателен на области определения, знак $$y’$$ определяется числителем $$x-3$$:

$$y’>0 \text{ при } x>3,\qquad y'<0 \text{ при } x<3.$$

С учётом области определения получаем:

$$y \text{ убывает на } (-\infty;2], \quad y \text{ возрастает на } [4;+\infty).$$

б)

$$y=\sqrt{5x-2-2x^2}$$

Пусть $$u=5x-2-2x^2,$$ тогда $$y=\sqrt{u}$$ и

$$y’=\frac{u’}{2\sqrt{u}}=\frac{5-4x}{2\sqrt{5x-2-2x^2}}.$$

Область определения:

$$5x-2-2x^2\ge 0,$$

или

$$-2x^2+5x-2\ge 0.$$

Найдём корни уравнения $$-2x^2+5x-2=0$$:

$$D=5^2-4\cdot(-2)\cdot(-2)=25-16=9,$$

$$x_1=\frac{-5-3}{-4}=2,\qquad x_2=\frac{-5+3}{-4}=\frac12.$$

Тогда

$$-2\left(x-\frac12\right)(x-2)\ge 0,$$

откуда

$$x\in\left[\frac12;2\right].$$

Знак производной определяется числителем $$5-4x$$:

$$y’>0 \text{ при } x<\frac54,\qquad y'<0 \text{ при } x>\frac54.$$

С учётом области определения:

$$y \text{ возрастает на } \left[\frac12;\frac54\right], \quad y \text{ убывает на } \left[\frac54;2\right].$$

Ответ

а) $$y$$ возрастает на $$[4;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;2].$$

б) $$y$$ возрастает на $$\left[\frac12;\frac54\right]$$, убывает на $$\left[\frac54;2\right].$$