Упр.44.24 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\sin^2 x$$

Пусть $$u=\sin x$$, тогда $$y=u^2$$.

$$y’=(u^2)’ \cdot (\sin x)’=2u\cos x=2\sin x\cos x=\sin 2x.$$

Функция возрастает, когда $$y’ \ge 0$$, то есть

$$\sin 2x \ge 0.$$

Отсюда

$$2\pi n \le 2x \le \pi+2\pi n,$$

$$\pi n \le x \le \frac{\pi}{2}+\pi n.$$

Ответ: возрастает на $$\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n\right]$$.

б) $$y=\frac{1}{\cos^3 x}$$

Пусть $$u=\cos x$$, тогда $$y=\frac{1}{u^3}=u^{-3}$$.

$$y’=(u^{-3})’ \cdot (\cos x)’=-3u^{-4}\cdot(-\sin x)=\frac{3\sin x}{\cos^4 x}.$$

Для возрастания нужно

$$\frac{3\sin x}{\cos^4 x}\ge 0.$$

Так как $$\cos^4 x>0$$ при $$\cos x\ne 0$$, получаем

$$\sin x\ge 0,$$

а также область определения: $$\cos x\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\in[2\pi n;\pi+2\pi n)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right].$$

Функция убывает, когда $$\sin x\le 0$$ и $$\cos x\ne 0$$, то есть

$$x\in\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right).$$

Ответ: возрастает на $$\left[2\pi n;\pi+2\pi n\right)\cup\left(\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right]\cup\left[\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right).$$

в) $$y=\cos^2 x$$

Пусть $$u=\cos x$$, тогда $$y=u^2$$.

$$y’=(u^2)’ \cdot (\cos x)’=2u(-\sin x)=-2\cos x\sin x=-\sin 2x.$$

Функция возрастает, когда

$$-\sin 2x\ge 0,$$

то есть

$$\sin 2x\le 0.$$

Отсюда

$$-\pi+2\pi n\le 2x\le 2\pi n,$$

$$-\frac{\pi}{2}+\pi n\le x\le \pi n.$$

Ответ: возрастает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+\pi n;\pi n\right]$$, убывает на $$\left[\pi n;\frac{\pi}{2}+\pi n\right].$$

г) $$y=\frac{1}{\sin^5 x}$$

Пусть $$u=\sin x$$, тогда $$y=\frac{1}{u^5}=u^{-5}$$.

$$y’=(u^{-5})’ \cdot (\sin x)’=-5u^{-6}\cos x=-\frac{5\cos x}{\sin^6 x}.$$

Для убывания нужно

$$-\frac{5\cos x}{\sin^6 x}\le 0.$$

Так как $$\sin^6 x>0$$ при $$\sin x\ne 0$$, получаем

$$\cos x\ge 0,$$

а также область определения: $$\sin x\ne 0.$$

Следовательно,

$$x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right].$$

Функция возрастает, когда $$\cos x\le 0$$ и $$\sin x\ne 0$$, то есть

$$x\in\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right].$$

Ответ: возрастает на $$\left[\frac{\pi}{2}+2\pi n;\pi+2\pi n\right)\cup\left(\pi+2\pi n;\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right]$$, убывает на $$\left[-\frac{\pi}{2}+2\pi n;2\pi n\right)\cup\left(2\pi n;\frac{\pi}{2}+2\pi n\right].$$