Упр.44.23 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{x^2}{x^2+2}$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x^2)'(x^2+2)-x^2(x^2+2)’}{(x^2+2)^2} =\frac{2x(x^2+2)-x^2\cdot 2x}{(x^2+2)^2} =\frac{4x}{(x^2+2)^2}.$$

Так как $$\left(x^2+2\right)^2>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется числителем $$4x$$:

$$y’>0 \text{ при } x>0,\qquad y'<0 \text{ при } x<0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0]$$ и возрастает на $$[0;+\infty)$$.

б) $$y=-\frac{3x^2}{x^2+4}$$

Найдём производную:

$$y’=-\frac{(3x^2)'(x^2+4)-3x^2(x^2+4)’}{(x^2+4)^2} =-\frac{6x(x^2+4)-3x^2\cdot 2x}{(x^2+4)^2} =-\frac{24x}{(x^2+4)^2}.$$

Так как $$\left(x^2+4\right)^2>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется числителем $$-24x$$:

$$y’>0 \text{ при } x<0,\qquad y'<0 \text{ при } x>0.$$

Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty)$$.

Ответ: а) убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty)$$; б) возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty)$$.