Упр.44.22 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Найдём производные и исследуем их знак.
$$y=\sqrt{3x-1}$$
$$y’=\left(\sqrt{3x-1}\right)’=\frac{3}{2\sqrt{3x-1}}$$
Производная положительна при всех значениях, где функция определена. Область определения:
$$3x-1\ge 0,\quad x\ge \frac13.$$
Значит, функция возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right).$$
$$y=\sqrt{1-x}+2x$$
$$y’=\left(\sqrt{1-x}\right)’+(2x)’=-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}+2$$
Найдём, где $$y’\ge 0$$:
$$2-\frac{1}{2\sqrt{1-x}}\ge 0$$
$$4\sqrt{1-x}-1\ge 0$$
$$4\sqrt{1-x}\ge 1$$
$$16(1-x)\ge 1$$
$$16-16x\ge 1$$
$$15\ge 16x,\quad x\le \frac{15}{16}.$$
Область определения:
$$1-x\ge 0,\quad x\le 1.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right].$$
$$y=\sqrt{1-2x}$$
$$y’=\left(\sqrt{1-2x}\right)’=-\frac{1}{\sqrt{1-2x}}$$
Так как $$y’<0$$ при всех значениях из области определения, функция убывает.
Область определения:
$$1-2x\ge 0,\quad x\le \frac12.$$
Значит, функция убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right].$$
$$y=\sqrt{2x-1}-x$$
$$y’=\left(\sqrt{2x-1}\right)’-1=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1$$
Найдём, где $$y’\ge 0$$:
$$\frac{1}{\sqrt{2x-1}}-1\ge 0$$
$$\frac{1-\sqrt{2x-1}}{\sqrt{2x-1}}\ge 0.$$
Так как $$\sqrt{2x-1}>0$$ в области определения, достаточно решить:
$$1-\sqrt{2x-1}\ge 0$$
$$\sqrt{2x-1}\le 1$$
$$2x-1\le 1$$
$$x\le 1.$$
Область определения:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Следовательно, функция возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
Ответ: а) возрастает на $$\left[\frac13;+\infty\right);$$ б) возрастает на $$\left(-\infty;\frac{15}{16}\right]$$ и убывает на $$\left[\frac{15}{16};1\right];$$ в) убывает на $$\left(-\infty;\frac12\right];$$ г) возрастает на $$\left[\frac12;1\right]$$ и убывает на $$\left[1;+\infty\right).$$
