Упр.44.20 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Определите промежутки монотонности функции: а) $$y=x^3+2x$$; б) $$y=60+45x-3x^2-x^3$$; в) $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$; г) $$y=-x^5+5x$$.

Найдём производные и исследуем их знак.

1. $$y=x^3+2x$$

   $$y’ = 3x^2+2$$

   Так как $$3x^2 \ge 0$$, то $$y’ > 0$$ при любом $$x$$. Значит, функция возрастает на всей числовой прямой.

   Ответ: возрастает на $$(-\infty;+\infty)$$.

2. $$y=60+45x-3x^2-x^3$$

   $$y’ = 45-6x-3x^2$$

   Найдём нули производной:

   $$45-6x-3x^2=0$$

   $$x^2+2x-15=0$$

   $$x_1=-5,\quad x_2=3$$

   Тогда

   $$y’=-3(x+5)(x-3)$$

   Знак производной:

   • $$y’>0$$ при $$x\in[-5;3]$$;
   • $$y'<0$$ при $$x\in(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$.

   Ответ: возрастает на $$[-5;3]$$, убывает на $$(-\infty;-5]\cup[3;+\infty)$$.

3. $$y=2x^3-3x^2-36x+40$$

   $$y’ = 6x^2-6x-36$$

   Решим уравнение $$y’=0$$:

   $$6x^2-6x-36=0$$

   $$x^2-x-6=0$$

   $$x_1=-2,\quad x_2=3$$

   Тогда

   $$y’=6(x+2)(x-3)$$

   Следовательно,

   • $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$;
   • $$y'<0$$ при $$x\in[-2;3]$$.

   Ответ: возрастает на $$(-\infty;-2]\cup[3;+\infty)$$, убывает на $$[-2;3]$$.

4. $$y=-x^5+5x$$

   $$y’=-5x^4+5$$

   Найдём, где $$y’ \ge 0$$:

   $$-5x^4+5\ge 0$$

   $$x^4\le 1$$

   $$-1\le x\le 1$$

   Значит, функция возрастает на этом промежутке и убывает вне его.

   Ответ: возрастает на $$[-1;1]$$, убывает на $$(-\infty;-1]\cup[1;+\infty)$$.