Упр.44 Повторение ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Решите уравнения методом введения новой переменной:
а) $$x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3$$;
б) $$x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x}$$;
в) $$\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}}+3=2$$;
г) $$\left(\frac{3}{\sqrt{x+1}+1}+1\right)+2\sqrt{x+1}=5$$.
Пусть $$y=\sqrt{x^2+2x}.$$ Тогда уравнение
$$x^2+2x-2\sqrt{x^2+2x}=3$$
примет вид
$$y^2-2y=3,$$
то есть
$$y^2-2y-3=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=2^2+4\cdot 3=16,$$
$$y_{1,2}=\frac{2\pm 4}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-1,\quad y_2=3.$$
Так как $$y=\sqrt{x^2+2x}\ge 0,$$ значение $$y=-1$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x^2+2x}=3,$$
$$x^2+2x=9,$$
$$x^2+2x-9=0.$$
Находим корни:
$$D=2^2+4\cdot 9=40,$$
$$x=\frac{-2\pm \sqrt{40}}{2}=\frac{-2\pm 2\sqrt{10}}{2}=-1\pm \sqrt{10}.$$
Проверка показывает, что оба корня подходят.
Пусть $$y=\sqrt{x^2+6x}.$$ Тогда
$$x^2+6x+24=10\sqrt{x^2+6x}$$
переходит в
$$y^2+24=10y,$$
$$y^2-10y+24=0.$$
Решаем:
$$D=10^2-4\cdot 24=4,$$
$$y_{1,2}=\frac{10\pm 2}{2}.$$
Отсюда
$$y_1=4,\quad y_2=6.$$
1) Если $$\sqrt{x^2+6x}=4,$$ то
$$x^2+6x=16,$$
$$x^2+6x-16=0,$$
$$D=6^2+4\cdot 16=100,$$
$$x=\frac{-6\pm 10}{2},$$
$$x_1=-8,\quad x_2=2.$$
2) Если $$\sqrt{x^2+6x}=6,$$ то
$$x^2+6x=36,$$
$$x^2+6x-36=0,$$
$$D=6^2+4\cdot 36=180,$$
$$x=\frac{-6\pm \sqrt{180}}{2}=\frac{-6\pm 6\sqrt{5}}{2}=-3\pm 3\sqrt{5}.$$
Все найденные значения подходят.
Пусть $$y=\sqrt{2-x}.$$ Тогда
$$\sqrt{2-x}+\frac{4}{\sqrt{2-x}+3}=2$$
переходит в
$$y+\frac{4}{y+3}=2.$$
Умножим на $$y+3$$:
$$y(y+3)+4=2(y+3),$$
$$y^2+3y+4=2y+6,$$
$$y^2+y-2=0.$$
Решаем:
$$D=1^2+4\cdot 2=9,$$
$$y_{1,2}=\frac{-1\pm 3}{2}.$$
Получаем:
$$y_1=-2,\quad y_2=1.$$
Так как $$y=\sqrt{2-x}\ge 0,$$ значение $$y=-2$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{2-x}=1,$$
$$2-x=1,$$
$$x=1.$$
Пусть $$y=\sqrt{x+1}.$$ Тогда
$$\frac{3}{\sqrt{x+1}+1}+2\sqrt{x+1}=5$$
переходит в
$$\frac{3}{y+1}+2y=5.$$
Умножим на $$y+1$$:
$$3+2y(y+1)=5(y+1),$$
$$3+2y^2+2y=5y+5,$$
$$2y^2-3y-2=0.$$
Решаем:
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$
$$y_{1,2}=\frac{3\pm 5}{4}.$$
Отсюда
$$y_1=-\frac12,\quad y_2=2.$$
Так как $$y=\sqrt{x+1}\ge 0,$$ значение $$y=-\frac12$$ не подходит. Тогда
$$\sqrt{x+1}=2,$$
$$x+1=4,$$
$$x=3.$$
Ответ
а) $$x=-1-\sqrt{10},\ \sqrt{10}-1$$; б) $$x=-8,\ -3-3\sqrt{5},\ 3\sqrt{5}-3,\ 2$$; в) $$x=1$$; г) $$x=3$$.
