Упр.44.18 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) $$y=\frac{3x+7}{x+2}$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;

б) $$y=\frac{-4x+1}{2x+1}$$ на $$(-\infty;+\infty)$$.

Найдём производные данных функций и исследуем их знак на области определения.

а)

$$y=\frac{3x+7}{x+2}, \qquad x\ne -2.$$

$$y’=\frac{(3x+7)'(x+2)-(3x+7)(x+2)’}{(x+2)^2} =\frac{3(x+2)-(3x+7)}{(x+2)^2} =\frac{3x+6-3x-7}{(x+2)^2} =-\frac{1}{(x+2)^2}.$$

Так как $$(x+2)^2>0$$ при всех $$x\ne -2$$, то

$$y'<0$$

на всей области определения функции. Значит, функция убывает на каждом промежутке области определения:

$$(-\infty;-2)\ \text{и}\ (-2;+\infty).$$

б)

$$y=\frac{-4x+1}{2x+1}, \qquad x\ne -\frac12.$$

$$y’=\frac{(-4x+1)'(2x+1)-(-4x+1)(2x+1)’}{(2x+1)^2} =\frac{-4(2x+1)-2(-4x+1)}{(2x+1)^2} =\frac{-8x-4+8x-2}{(2x+1)^2} =-\frac{6}{(2x+1)^2}.$$

Так как $$(2x+1)^2>0$$ при всех $$x\ne -\frac12$$, то

$$y'<0$$

на всей области определения функции. Следовательно, функция убывает на промежутках

$$(-\infty;-\tfrac12)\ \text{и}\ (-\tfrac12;+\infty).$$

Ответ

а) $$(-\infty;-2)$$ и $$(-2;+\infty)$$; б) $$(-\infty;-\tfrac12)$$ и $$(-\tfrac12;+\infty)$$.