Упр.44.17 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что заданная функция убывает:
   
   а) $$y=-x^3-6x+3$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
   
   б) $$y=-2x^5-7x^3-x+8$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
   
   в) $$y=-x^3+3x^2-6x+1$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
   
   г) $$y=-4x^3+4x^2-2x+9$$ на $$(-\infty;+\infty)$$.

Чтобы доказать, что функция убывает на всей числовой прямой, достаточно показать, что её производная отрицательна при всех допустимых значениях $$x$$.

а)

$$y=-x^3-5x+3$$

Найдём производную:

$$y’=-3x^2-5.$$

Так как $$-3x^2\le 0$$ при любом $$x$$, то

$$y’=-3x^2-5<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

б)

$$y=-2x^5-7x^3-x+8$$

Найдём производную:

$$y’=-10x^4-21x^2-1.$$

Поскольку $$-10x^4\le 0$$ и $$-21x^2\le 0$$, то

$$y’=-10x^4-21x^2-1<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

в)

$$y=-x^3+3x^2-6x+1$$

Найдём производную:

$$y’=-3x^2+6x-6.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$-3x^2+6x-6$$. Его дискриминант:

$$D=6^2-4\cdot(-3)\cdot(-6)=36-72=-36<0.$$

Так как старший коэффициент $$a=-3<0$$, а корней нет, то

$$y'<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

г)

$$y=-4x^3+4x^2-2x+9$$

Найдём производную:

$$y’=-12x^2+8x-2.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$-12x^2+8x-2$$. Его дискриминант:

$$D=8^2-4\cdot(-12)\cdot(-2)=64-96=-32<0.$$

Так как старший коэффициент $$a=-12<0$$, то

$$y'<0$$ при всех $$x\in\mathbb{R}.$$

Значит, функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$

Ответ

Во всех пунктах функция убывает на $$(-\infty;+\infty).$$