Упр.44.13 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Докажите, что заданная функция возрастает:

а) $$y=x^5+3x-6$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
б) $$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3}$$ на $$(-\infty;0)$$;
в) $$y=x^7+7x^3+2x-42$$ на $$(-\infty;+\infty)$$;
г) $$y=21x-\frac{1}{x^5}$$ на $$(0;+\infty)$$.

Подробный ответ

Функция возрастает на указанном промежутке, если её производная неотрицательна при всех допустимых значениях $$x$$.

$$y=x^5+3x-6,\quad x\in(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x^5)’+(3x-6)’=5x^4+3.$$
Так как $$5x^4\ge 0,$$ то $$5x^4+3>0$$ при любом $$x$$.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=15-\frac{2}{x}-\frac{1}{x^3},\quad x\in(-\infty;0)$$
$$y’=0-\;2\left(\frac{1}{x}\right)’-\left(x^{-3}\right)’= -2\left(-\frac{1}{x^2}\right)-(-3x^{-4})=\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}.$$
На области определения $$x\ne 0,$$ поэтому $$x^2>0$$ и $$x^4>0.$$ Значит,
$$y’=\frac{2}{x^2}+\frac{3}{x^4}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;0).$$
$$y=x^7+7x^3+2x-42,\quad x\in(-\infty;+\infty)$$
$$y’=(x^7)’+(7x^3)’+(2x-42)’=7x^6+21x^2+2.$$
Так как $$7x^6\ge 0$$ и $$21x^2\ge 0,$$ то
$$7x^6+21x^2+2>0$$ при любом $$x$$.
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;+\infty).$$
$$y=21x-\frac{1}{x^5},\quad x\in(0;+\infty)$$
$$y’=(21x)’-\left(x^{-5}\right)’=21-(-5x^{-6})=21+\frac{5}{x^6}.$$
При $$x>0$$ имеем $$x^6>0,$$ значит
$$y’=21+\frac{5}{x^6}>0.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(0;+\infty).$$