Упр.44.12 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Докажите, что функция монотонна на всей числовой прямой. Укажите характер монотонности.
a) $$y=x^5+6x^3-7$$; б) $$y=x-\cos x+8$$; в) $$y=\sin x-2x-15$$; г) $$y=11-5x-x^3$$.
Найдём производные функций и определим их знак на всей числовой прямой.
$$y=x^5+6x^3-7$$
$$y’=5x^4+18x^2$$
Так как $$5x^4\ge 0$$ и $$18x^2\ge 0$$ при любом $$x$$, то $$y’\ge 0$$ на всей числовой прямой. Следовательно, функция возрастает.
$$y=x-\cos x+8$$
$$y’=1+\sin x$$
Поскольку $$-1\le \sin x\le 1$$, то $$1+\sin x\ge 0$$ при любом $$x$$. Значит, функция возрастает.
$$y=\sin x-2x-15$$
$$y’=\cos x-2$$
Так как $$-1\le \cos x\le 1$$, то $$\cos x-2\le -1<0$$ при любом $$x$$. Следовательно, функция убывает.
$$y=11-5x-x^3$$
$$y’=-5-3x^2$$
Поскольку $$3x^2\ge 0$$, то $$-5-3x^2<0$$ при любом $$x$$. Значит, функция убывает.
Ответ: а) возрастает; б) возрастает; в) убывает; г) убывает.
