Упр.44.11 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Докажите, что заданная функция убывает на $$\mathbb{R}$$:

а) $$y=\sin 2x-3x$$;

б) $$y=\cos 3x+4x$$.

Функция убывает на всей числовой прямой, если её производная неположительна при любом допустимом значении $$x$$.

а)

$$y=\sin 2x-3x$$

Найдём производную:

$$y’=(\sin 2x)’-(3x)’=2\cos 2x-3.$$

Так как $$-1\le \cos 2x\le 1$$, то

$$-2\le 2\cos 2x\le 2.$$

Следовательно,

$$2\cos 2x-3\le 2-3=-1<0.$$

Значит, $$y'<0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция убывает на $$\mathbb{R}$$.

б)

$$y=\cos 3x-4x$$

Найдём производную:

$$y’=(\cos 3x)’-(4x)’=-3\sin 3x-4.$$

Так как $$-1\le \sin 3x\le 1$$, то

$$-3\le -3\sin 3x\le 3.$$

Следовательно,

$$-3\sin 3x-4\le 3-4=-1<0.$$

Значит, $$y'<0$$ при любом $$x\in \mathbb{R}$$, поэтому функция убывает на $$\mathbb{R}$$.

Ответ

а) функция убывает на $$\mathbb{R}$$; б) функция убывает на $$\mathbb{R}$$.