Упр.44.10 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Докажите, что заданная функция возрастает на $$\mathbb{R}$$:
- а) $$y=\cos x+2x$$;
- б) $$y=\sin x+x^3+x$$;
- в) $$y=x^5+3x^3+7x+4$$;
- г) $$y=x^5+4x^3+8x-8$$.
Чтобы доказать возрастание функции на всей числовой прямой, достаточно показать, что её производная неотрицательна при всех $$x \in \mathbb{R}$$.
а)
$$y=\cos x+2x$$
$$y’=-\sin x+2$$
Так как $$-1 \le \sin x \le 1,$$ то
$$1 \le 2-\sin x \le 3,$$
значит, $$y’>0$$ при любом $$x \in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
б)
$$y=\sin x+x^3+x$$
$$y’=\cos x+3x^2+1$$
Так как $$-1 \le \cos x \le 1$$ и $$3x^2 \ge 0,$$ то
$$\cos x+1 \ge 0,$$
а значит,
$$y’=\cos x+3x^2+1 \ge 0$$
при любом $$x \in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
в)
$$y=x^5+3x^3+7x+4$$
$$y’=5x^4+9x^2+7$$
Так как $$5x^4 \ge 0$$ и $$9x^2 \ge 0,$$ то
$$y’ = 5x^4+9x^2+7 \ge 7 > 0$$
при любом $$x \in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
г)
$$y=x^5+4x^3+8x-8$$
$$y’=5x^4+12x^2+8$$
Так как $$5x^4 \ge 0$$ и $$12x^2 \ge 0,$$ то
$$y’ = 5x^4+12x^2+8 \ge 8 > 0$$
при любом $$x \in \mathbb{R}.$$ Следовательно, функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
Ответ
Во всех пунктах функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$
