Упр.43.9 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в каждой из указанных точек:
а) $$f(x)=\begin{cases}x^2-1, & |x|\geqslant 1,\\1-x^2, & |x|<1,\end{cases} \quad x_1=-2,\ x_2=0,\ x_3=3.$$
б) $$f(x)=\begin{cases}x^2+2, & x\geqslant 0,\\2-x^2, & x<0,\end{cases} \quad x_1=-1,\ x_2=0,\ x_3=2.$$
в) $$f(x)=\begin{cases}-3x, & x\leqslant 0,\\\sqrt{5x}, & x>0,\end{cases} \quad x_1=-1,\ x_2=1,\ x_3=5.$$
г) $$f(x)=\begin{cases}\sqrt{4-2x}, & x\leqslant 2,\\x-2, & x>2,\end{cases} \quad x_1=-2,\ x_2=2,\ x_3=5.$$
Найдём производную функции на каждом промежутке и подставим заданные значения аргумента. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке.
$$f(x)=\begin{cases}x^2-1,& |x|\ge 1,\\ 1-x^2,& |x|<1.\end{cases}$$
$$f'(x)=\begin{cases}2x,& |x|\ge 1,\\ -2x,& |x|<1.\end{cases}$$
$$f'(-2)=2\cdot(-2)=-4,\quad f'(0)=-2\cdot 0=0,\quad f'(3)=2\cdot 3=6.$$
Ответ: $$-4;\ 0;\ 6.$$
$$f(x)=\begin{cases}x^2+2,& x\ge 0,\\ 2-x^2,& x<0.\end{cases}$$
$$f'(x)=\begin{cases}2x,& x\ge 0,\\ -2x,& x<0.\end{cases}$$
$$f'(-1)=-2\cdot(-1)=2,\quad f'(0)=2\cdot 0=0,\quad f'(2)=2\cdot 2=4.$$
Ответ: $$2;\ 0;\ 4.$$
$$f(x)=\begin{cases}-3x,& x\le 0,\\ \sqrt{5x},& x>0.\end{cases}$$
$$f'(x)=\begin{cases}-3,& x\le 0,\\ \dfrac{5}{2\sqrt{5x}},& x>0.\end{cases}$$
$$f'(-1)=-3,\quad f'(1)=\dfrac{5}{2\sqrt5}=\dfrac{\sqrt5}{2},\quad f'(5)=\dfrac{5}{2\sqrt{25}}=\dfrac12.$$
Ответ: $$-3;\ \dfrac{\sqrt5}{2};\ \dfrac12.$$
$$f(x)=\begin{cases}\sqrt{4-2x},& x\le 2,\\ x-2,& x>2.\end{cases}$$
$$f'(x)=\begin{cases}-\dfrac{1}{\sqrt{4-2x}},& x\le 2,\\ 1,& x>2.\end{cases}$$
$$f'(-2)=-\dfrac{1}{\sqrt{4-2(-2)}}=-\dfrac{1}{\sqrt8}=-\dfrac{\sqrt2}{4},$$
в точке $$x=2$$ производная не существует, так как
$$f'(2)=-\dfrac{1}{\sqrt{4-4}}$$
не определена; при $$x=5$$ имеем $$f'(5)=1.$$
Ответ: $$-\dfrac{\sqrt2}{4};\ \text{не существует};\ 1.$$
