Упр.43.8 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) $$f(x)=(x^3-3x^2+3x-1)(x-1),\quad x_0=-1$$
2. б) $$f(x)=\sqrt{x^2-6x+9},\quad x_0=-2$$
3. в) $$f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2},\quad x_0=-0{,}1$$
4. г) $$f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8},\quad x_0=-5$$

а) $$f(x)=\frac{x^3-3x^2+3x-1}{x-1}, \quad x_0=-1.$$

Заметим, что $$x^3-3x^2+3x-1=(x-1)^3,$$ тогда

$$f(x)=\frac{(x-1)^3}{x-1}=(x-1)^2=x^2-2x+1.$$

Найдём производную:

$$f'(x)=2x-2.$$

Тогда

$$f'(-1)=2\cdot(-1)-2=-4.$$

б) $$f(x)=\sqrt{x^2-6x+9}, \quad x_0=-2.$$

Преобразуем выражение под корнем:

$$x^2-6x+9=(x-3)^2,$$

поэтому

$$f(x)=\sqrt{(x-3)^2}=|x-3|.$$

Так как при $$x<3$$ имеем $$|x-3|=3-x,$$ то

$$f(x)=3-x,\qquad f'(x)=-1.$$

Следовательно,

$$f'(-2)=-1.$$

в) $$f(x)=\frac{x^4-3x^3+x}{x^2}, \quad x_0=-0{,}1.$$

Упростим функцию:

$$f(x)=\frac{x^2\left(x^2-3x+\frac1x\right)}{x^2}=x^2-3x+\frac1x.$$

Тогда

$$f'(x)=2x-3-\frac1{x^2}.$$

Подставим $$x_0=-0{,}1$$:

$$f'(-0{,}1)=2\cdot(-0{,}1)-3-\frac1{(-0{,}1)^2}=-0{,}2-3-100=-103{,}2.$$

г) $$f(x)=\sqrt[3]{x^3-6x^2+12x-8}, \quad x_0=-5.$$

Заметим, что

$$x^3-6x^2+12x-8=(x-2)^3,$$

значит

$$f(x)=\sqrt[3]{(x-2)^3}=x-2.$$

Тогда

$$f'(x)=1,$$

и, следовательно,

$$f'(-5)=1.$$

Ответ: а) $$-4$$; б) $$-1$$; в) $$-103{,}2$$; г) $$1$$.