Упр.43.70 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите, что касательная к параболе $$y=x^2$$ в точке $$x=a$$ делит пополам отрезок $$[0;a]$$ оси абсцисс. Рассмотрев чертёж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к параболе. Обобщите этот результат и этот способ построения касательной на любую степенную функцию $$y=x^n$$, где $$n$$ — натуральное число, большее 2.
Пусть $$f(x)=x^2$$, а $$x=a$$ — абсцисса точки касания.
Найдём уравнение касательной:
$$f(a)=a^2,$$
$$f'(x)=(x^2)’=2x,\qquad f'(a)=2a.$$
Тогда
$$y=a^2+2a(x-a)=a^2+2ax-2a^2=2ax-a^2.$$
Найдём абсциссу точки пересечения касательной с осью $$x$$:
$$2ax-a^2=0,$$
$$2ax=a^2,$$
$$x=\frac{a^2}{2a}=\frac a2.$$
Значит, касательная пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой $$\frac a2$$, то есть делит отрезок $$[0;a]$$ пополам.
Геометрический способ построения касательной: нужно взять на оси абсцисс середину отрезка $$[0;a]$$ и провести прямую через точку касания параболы и эту середину.
Обобщим результат для функции $$y=x^n$$, где $$n\in\mathbb N$$, $$n>2$$.
Пусть $$x=a$$ — абсцисса точки касания. Тогда
$$f(a)=a^n,$$
$$f'(x)=(x^n)’=nx^{n-1},\qquad f'(a)=na^{n-1}.$$
Уравнение касательной:
$$y=a^n+na^{n-1}(x-a)=a^n+na^{n-1}x-na^n.$$
Найдём точку пересечения с осью $$x$$:
$$a^n+na^{n-1}(x-a)=0,$$
$$na^{n-1}x=na^n-a^n,$$
$$x=\frac{a( n-1)}{n}.$$
Следовательно, касательная к графику $$y=x^n$$ в точке $$x=a$$ отсекает на оси абсцисс отрезок длины $$\frac{a}{n}$$ от точки с абсциссой $$a$$. Поэтому для построения касательной достаточно на оси абсцисс отложить от точки $$a$$ влево отрезок длины $$\frac{a}{n}$$ и провести прямую через эту точку и точку касания.
Ответ
Для $$y=x^2$$ касательная в точке $$x=a$$ пересекает ось $$x$$ в точке $$x=\frac a2$$, то есть делит отрезок $$[0;a]$$ пополам. Для $$y=x^n$$, $$n>2$$, касательная пересекает ось $$x$$ в точке $$x=\frac{(n-1)a}{n}$$, отсекая от точки $$a$$ отрезок длины $$\frac{a}{n}$$.
