Упр.43.7 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Найдите тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$:
   а) $$f(x)=(x-2)(x^2+2x+4),\quad x_0=3$$;
   б) $$f(x)=\cos^2 3x-\sin^2 3x,\quad x_0=\frac{\pi}{6}$$;
   в) $$f(x)=(2x+1)(4x^2-2x+1),\quad x_0=-\frac{1}{2}$$;
   г) $$f(x)=\sin x\cdot\cos x\cdot\cos 2x,\quad x_0=\frac{\pi}{4}$$.

Тангенс угла наклона касательной равен значению производной в точке $$x_0$$: $$\tg \alpha=f'(x_0).$$

1. $$f(x)=(x-2)(x^2+2x+4)=x^3-8.$$

   $$f'(x)=3x^2,$$

   $$f'(3)=3\cdot 3^2=27.$$

   Ответ: $$27$$.

2. $$f(x)=\cos^2 3x-\sin^2 3x=\cos 6x.$$

   $$f'(x)=-6\sin 6x,$$

   $$f’\left(\frac{\pi}{6}\right)=-6\sin \pi=0.$$

   Ответ: $$0$$.

3. $$f(x)=(2x+1)(4x^2-2x+1)=8x^3+1.$$

   $$f'(x)=24x^2,$$

   $$f’\left(-\frac12\right)=24\cdot \left(-\frac12\right)^2=24\cdot \frac14=6.$$

   Ответ: $$6$$.

4. $$f(x)=\sin x\cdot \cos x\cdot \cos 2x.$$

   Используем формулу $$2\sin x\cos x=\sin 2x$$:

   $$f(x)=\frac{\sin 2x}{2}\cos 2x=\frac{\sin 4x}{4}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=\cos 4x,$$

   $$f’\left(\frac{\pi}{4}\right)=\cos \pi=-1.$$

   Ответ: $$-1$$.