Упр.43.69 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Докажите, что треугольник, образованный касательной к гиперболе $$y=\frac{a^2}{x}$$ и осями координат, имеет постоянную площадь, а точка касания является центром окружности, описанной около этого треугольника. Рассмотрев чертёж к задаче, придумайте геометрический способ построения касательной к гиперболе.
Пусть точка касания имеет абсциссу $$b$$. Тогда для гиперболы $$y=\frac{a^2}{x}$$ имеем
$$f(b)=\frac{a^2}{b}, \qquad f'(x)=-\frac{a^2}{x^2}, \qquad f'(b)=-\frac{a^2}{b^2}.$$
Уравнение касательной:
$$y=f(b)+f'(b)(x-b)=\frac{a^2}{b}-\frac{a^2}{b^2}(x-b)=\frac{a^2}{b^2}(2b-x).$$
Найдём точки пересечения касательной с осями координат.
При $$y=0$$ получаем
$$\frac{a^2}{b^2}(2b-x)=0 \;\Rightarrow\; x=2b.$$
При $$x=0$$ получаем
$$y=\frac{a^2}{b^2}\cdot 2b=\frac{2a^2}{b}.$$
Значит, треугольник, образованный касательной и осями координат, имеет катеты
$$|2b| \quad \text{и} \quad \left|\frac{2a^2}{b}\right|.$$
Его площадь равна
$$S=\frac12 \cdot |2b| \cdot \left|\frac{2a^2}{b}\right|=2a^2.$$
Следовательно, площадь постоянна и не зависит от выбора точки касания.
Теперь докажем, что точка касания является центром описанной окружности. Обозначим точки пересечения касательной с осями через
$$A(2b,0), \qquad B\left(0,\frac{2a^2}{b}\right),$$
а точку касания через
$$M\left(b,\frac{a^2}{b}\right).$$
Найдём расстояния:
$$MA=\sqrt{(2b-b)^2+\left(0-\frac{a^2}{b}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^4}{b^2}},$$
$$MB=\sqrt{\left(0-b\right)^2+\left(\frac{2a^2}{b}-\frac{a^2}{b}\right)^2}=\sqrt{b^2+\frac{a^4}{b^2}}.$$
Значит, $$MA=MB$$. Кроме того, касательная пересекает оси в точках $$A$$ и $$B$$, а треугольник $$OAB$$ прямоугольный, поэтому точка, равноудалённая от его вершин $$A$$ и $$B$$ и лежащая на гипотенузе, является центром описанной окружности. Следовательно, точка касания $$M$$ — центр окружности, описанной около этого треугольника.
Геометрический способ построения касательной таков: взять на гиперболе точку $$M$$, провести окружность с центром в $$M$$ через начало координат; тогда прямая, соединяющая точки пересечения этой окружности с осями координат, будет искомой касательной.
Ответ
Площадь треугольника постоянна и равна $$2a^2$$. Точка касания является центром описанной окружности. Касательную можно построить как прямую, проходящую через точки пересечения осей координат с окружностью, построенной с центром в точке касания и радиусом, равным расстоянию до начала координат.
