Упр.43.68 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Прямая $$y=6x-7$$ касается параболы $$y=x^2+bx+c$$ в точке $$M(2; 5)$$. Найдите значения коэффициентов $$b$$ и $$c$$.
   б) Прямая $$y=7x-10$$ касается параболы $$y=ax^2+bx+c$$ в точке $$x=2$$. Найдите значения коэффициентов $$a$$, $$b$$ и $$c$$, если известно, что парабола пересекает ось абсцисс в точке $$x=1$$.

а) Пусть $$f(x)=x^2+bx+c.$$

Так как прямая $$y=6x-7$$ касается параболы в точке $$M(2;5),$$ то угловой коэффициент касательной равен производной в этой точке:

$$f'(x)=2x+b,$$

$$f'(2)=4+b=6,$$

откуда $$b=2.$$

Парабола проходит через точку $$M(2;5),$$ значит,

$$5=2^2+2\cdot 2+c,$$

$$5=4+4+c,$$

откуда $$c=-3.$$

Ответ: $$b=2,\ c=-3.$$

б) Пусть $$f(x)=ax^2+bx+c.$$

Точка касания соответствует $$x=2,$$ значит, ордината этой точки равна

$$y=7\cdot 2-10=4.$$

Следовательно, точка касания имеет координаты $$(2;4).$$

Так как прямая $$y=7x-10$$ касается параболы, то

$$f'(x)=2ax+b,$$

$$f'(2)=4a+b=7.$$

Кроме того, парабола проходит через точку $$(2;4),$$ поэтому

$$4a+2b+c=4.$$

Из условия пересечения оси абсцисс в точке $$x=1$$ получаем

$$f(1)=0,$$

то есть

$$a+b+c=0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} 4a+b=7,\\ 4a+2b+c=4,\\ a+b+c=0. \end{cases}$$

Из первого уравнения $$b=7-4a.$$ Тогда из третьего

$$c=-a-b=-a-(7-4a)=3a-7.$$

Подставим во второе:

$$4a+2(7-4a)+(3a-7)=4,$$

$$4a+14-8a+3a-7=4,$$

$$-a+7=4,$$

$$a=3.$$

Тогда

$$b=7-4\cdot 3=-5,$$

$$c=3\cdot 3-7=2.$$

Ответ: $$a=3,\ b=-5,\ c=2.$$