Упр.43.67 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $$y=\sqrt{x^2-5}$$ в точке $$x=3$$.
б) Найдите площадь треугольника, образованного биссектрисами координатных углов и касательной к графику функции $$y=\sqrt{x^2-9}$$ в точке $$x=5$$.
Биссектрисы координатных углов имеют уравнения $$y=x$$ и $$y=-x.$$ Угол между ними равен $$90^\circ,$$ поэтому искомая фигура — прямоугольный треугольник, катетами которого служат отрезки касательной, отсечённые этими прямыми.
а)
$$f(x)=\sqrt{x^2-5}, \quad x=3.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-5}}.$$
Тогда
$$f(3)=\sqrt{9-5}=2, \quad f'(3)=\frac{3}{\sqrt{9-5}}=\frac{3}{2}.$$
Уравнение касательной:
$$y=2+\frac{3}{2}(x-3),$$
$$y=\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}.$$
Найдём точки пересечения с биссектрисами.
С прямой $$y=-x$$:
$$\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}=-x,$$
$$\frac{5}{2}x=\frac{5}{2}, \quad x=1, \quad y=-1.$$
С прямой $$y=x$$:
$$\frac{3}{2}x-\frac{5}{2}=x,$$
$$\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}, \quad x=5, \quad y=5.$$
Длины катетов:
$$OA=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2},$$
$$OB=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 5\sqrt{2}=5.$$
б)
$$f(x)=\sqrt{x^2-9}, \quad x=5.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2-9}}.$$
Тогда
$$f(5)=\sqrt{25-9}=4, \quad f'(5)=\frac{5}{\sqrt{25-9}}=\frac{5}{4}.$$
Уравнение касательной:
$$y=4+\frac{5}{4}(x-5),$$
$$y=\frac{5}{4}x-\frac{9}{4}.$$
Точки пересечения с биссектрисами:
С прямой $$y=-x$$:
$$\frac{5}{4}x-\frac{9}{4}=-x,$$
$$\frac{9}{4}x=\frac{9}{4}, \quad x=1, \quad y=-1.$$
С прямой $$y=x$$:
$$\frac{5}{4}x-\frac{9}{4}=x,$$
$$\frac{1}{4}x=\frac{9}{4}, \quad x=9, \quad y=9.$$
Длины катетов:
$$OA=\sqrt{1^2+(-1)^2}=\sqrt{2},$$
$$OB=\sqrt{9^2+9^2}=\sqrt{162}=9\sqrt{2}.$$
Площадь треугольника:
$$S=\frac{1}{2}\cdot OA \cdot OB=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 9\sqrt{2}=9.$$
Ответ: а) $$5$$; б) $$9$$.
