Упр.43.66 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите значение параметра $$a$$, при котором касательная к графику функции $$y=x^3+a^2x-a$$ в точке $$x=-1$$ проходит через точку $$M(1;7)$$.
   б) Найдите значение параметра $$a$$, при котором касательная к графику функции $$y=x^4-3x^3+2a$$ в точке $$x=-2$$ проходит через точку $$M(-1;-8)$$.

а) Найдём производную функции $$f(x)=x^3+a^2x-a.$$

$$f'(x)=3x^2+a^2.$$

В точке $$x=-1$$ имеем:

$$f(-1)=(-1)^3+a^2(-1)-a=-1-a^2-a,$$

$$f'(-1)=3\cdot(-1)^2+a^2=3+a^2.$$

Уравнение касательной:

$$y=f(-1)+f'(-1)(x+1),$$

то есть

$$y=-1-a^2-a+(3+a^2)(x+1).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(1;7),$$ подставим её координаты:

$$7=-1-a^2-a+(3+a^2)\cdot 2.$$

$$7=-1-a^2-a+6+2a^2=5+a^2-a.$$

$$a^2-a-2=0.$$

$$\left(a-2\right)\left(a+1\right)=0,$$

откуда

$$a=2 \text{ или } a=-1.$$

б) Найдём производную функции $$f(x)=x^4-3x^3+2a.$$

$$f'(x)=4x^3-9x^2.$$

В точке $$x=-2$$ имеем:

$$f(-2)=(-2)^4-3(-2)^3+2a=16+24+2a=40+2a,$$

$$f'(-2)=4(-2)^3-9(-2)^2=-32-36=-68.$$

Уравнение касательной:

$$y=40+2a-68(x+2).$$

Так как касательная проходит через точку $$M(-1;-8),$$ подставим её координаты:

$$-8=40+2a-68(-1+2).$$

$$-8=40+2a-68.$$

$$2a=20,$$

$$a=10.$$

Ответ

а) $$a=-1,\ 2$$; б) $$a=10$$.