Упр.43.65 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Из какой точки оси y кривая $$y=\sqrt{1+x^2}$$ видна под углом $$120^\circ$$?
   б) Найдите множество точек координатной плоскости, из которых парабола $$y=x^2$$ видна под прямым углом.

а) Пусть точка, из которой кривая $$y=\sqrt{1+x^2}$$ видна под углом $$120^\circ$$, имеет координаты $$B(0;y_0)$$. Так как функция $$y=\sqrt{1+x^2}$$ чётная, достаточно рассмотреть точку касания с абсциссой $$a>0$$.

Производная:

$$y’=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$$

Угол между касательными равен $$120^\circ$$, значит каждая касательная образует с осью $$x$$ угол $$30^\circ$$, поэтому её угловой коэффициент равен

$$k=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Тогда для точки касания $$x=a$$ имеем

$$\frac{a}{\sqrt{1+a^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Отсюда

$$3a^2=1+a^2,$$

$$2a^2=1,$$

$$a=\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y(a)=\sqrt{1+\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}=\sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right).$$

Подставим $$x=0$$:

$$y_0=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}=\frac{\sqrt{6}}{3}.$$

Значит, искомая точка:

$$\left(0;\frac{\sqrt{6}}{3}\right).$$

б) Рассмотрим параболу $$y=x^2$$ и точку $$M(a;b)$$. Уравнение касательной к параболе в точке с абсциссой $$x_0$$:

$$y=x_0^2+2x_0(x-x_0)=2x_0x-x_0^2.$$

Если через точку $$M(a;b)$$ можно провести две касательные, то их угловые коэффициенты равны

$$k_1=2x_0,\qquad k_2=2x_1,$$

где $$x_0$$ и $$x_1$$ — абсциссы точек касания. Так как угол между касательными прямой равен $$90^\circ$$, то

$$k_1k_2=-1.$$

Для касательных, проходящих через $$M(a;b)$$, имеем

$$b=2ax_0-x_0^2,$$

откуда

$$x_0^2-2ax_0+b=0.$$

Пусть корни этого уравнения $$x_0$$ и $$x_1$$. Тогда

$$x_0+x_1=2a,\qquad x_0x_1=b.$$

Условие перпендикулярности касательных даёт

$$k_1k_2=(2x_0)(2x_1)=4x_0x_1=-1,$$

значит,

$$4b=-1,$$

$$b=-\frac{1}{4}.$$

Следовательно, множество всех таких точек — прямая

$$y=-\frac{1}{4}.$$

Ответ: а) $$\left(0;\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$$; б) $$y=-\frac{1}{4}$$.