Упр.43.64 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Докажите, что параболы $$y=\frac{(x-1)^2}{2}$$ и $$y=\frac{(x+1)^2}{2}$$ перпендикулярны в точке их пересечения.

Найдём точку пересечения парабол:

$$\frac{(x-1)^2}{2}=\frac{(x+1)^2}{2}$$

$$(x-1)^2=(x+1)^2$$

$$x^2-2x+1=x^2+2x+1$$

$$-4x=0$$

$$x=0$$

Тогда

$$y=\frac{(0-1)^2}{2}=\frac12$$

Итак, точка пересечения парабол — $$\left(0;\frac12\right)$$.

Найдём угловые коэффициенты касательных к параболам в этой точке:

$$f(x)=\frac{(x-1)^2}{2}, \qquad g(x)=\frac{(x+1)^2}{2}$$

$$f'(x)=x-1, \qquad g'(x)=x+1$$

При $$x=0$$ получаем:

$$k_1=f'(0)=-1, \qquad k_2=g'(0)=1$$

Проверим условие перпендикулярности касательных:

$$k_1k_2=-1\cdot 1=-1$$

Следовательно, касательные к параболам в точке их пересечения перпендикулярны, значит, и сами параболы перпендикулярны в этой точке.

Ответ: параболы перпендикулярны в точке $$\left(0;\frac12\right)$$.