Упр.43.63 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

Под каким углом пересекаются кривые: а) $$y=\frac{1}{x}$$ и $$y=\sqrt{x}$$; б) $$y=x^2$$ и $$y=\sqrt{x}$$?

Подробный ответ

Угол между кривыми равен углу между касательными в точке их пересечения.

а)

Найдём точку пересечения:

$$\frac{1}{x}=\sqrt{x}$$

$$1=x\sqrt{x}$$

$$x^{3/2}=1$$

$$x=1$$

Точка пересечения: $$\left(1;1\right).$$

Найдём угловые коэффициенты касательных:

$$f(x)=\frac{1}{x}, \quad f'(x)=-\frac{1}{x^2}, \quad f'(1)=-1$$

$$g(x)=\sqrt{x}, \quad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}, \quad g'(1)=\frac{1}{2}$$

Тогда

$$\tan \varphi=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|=\left|\frac{\frac12-(-1)}{1+(-1)\cdot \frac12}\right|=\left|\frac{\frac32}{\frac12}\right|=3$$

Следовательно,

$$\varphi=\arctg 3 \approx 71{,}57^\circ.$$

б)

Найдём точки пересечения:

$$x^2=\sqrt{x}$$

$$x^4=x$$

$$x(x^3-1)=0$$

$$x=0 \quad \text{или} \quad x=1$$

Значит, точки пересечения: $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(1;1\right).$$

1) В точке $$\left(0;0\right):$$

$$f(x)=x^2, \quad f'(x)=2x, \quad f'(0)=0$$

$$g(x)=\sqrt{x}, \quad g'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

В точке $$x=0$$ производная функции $$g(x)$$ не существует, поэтому касательная к графику $$y=\sqrt{x}$$ в этой точке вертикальна. Следовательно, угол между кривыми равен

$$90^\circ=\frac{\pi}{2}.$$

2) В точке $$\left(1;1\right):$$

$$f'(1)=2, \quad g'(1)=\frac12$$

$$\tan \varphi=\left|\frac{2-\frac12}{1+2\cdot \frac12}\right|=\frac{\frac32}{2}=\frac34$$

Значит,

$$\varphi=\arctg \frac34 \approx 36{,}87^\circ.$$