Упр.43.62 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

• а) Составьте уравнение общей касательной к графикам функций $$y=x^2-x+1$$ и $$y=x^2+5x+4$$. б) Найдите точку пересечения общих касательных к графикам функций $$y=x^2$$ и $$y=-x^2-8$$.

а) Пусть общая касательная имеет вид $$y=kx+m.$$ Тогда она касается каждой из парабол, значит соответствующие уравнения пересечения с этой прямой имеют по одному корню.

Для $$y=x^2-x+1$$ получаем:

$$x^2-x+1=kx+m,$$

$$x^2-(k+1)x+(1-m)=0.$$

Условие касания:

$$D_1=(k+1)^2-4(1-m)=0.$$

Для $$y=x^2+5x+4$$ имеем:

$$x^2+5x+4=kx+m,$$

$$x^2+(5-k)x+(4-m)=0.$$

Условие касания:

$$D_2=(5-k)^2-4(4-m)=0.$$

Решим систему:

$$\begin{cases} (k+1)^2-4(1-m)=0,\\ (5-k)^2-4(4-m)=0. \end{cases}$$

Раскроем скобки:

$$\begin{cases} k^2+2k+1-4+4m=0,\\ k^2-10k+25-16+4m=0. \end{cases}$$

Вычтем первое уравнение из второго:

$$-12k+12=0,$$

$$k=1.$$

Подставим в первое уравнение:

$$1+2-3+4m=0,$$

$$4m=0,$$

$$m=0.$$

Следовательно, общая касательная:

$$y=x.$$

б) Для $$y=x^2$$ касательная в точке с абсциссой $$a$$ имеет вид:

$$y=a^2+2a(x-a)=2ax-a^2.$$

Для $$y=-x^2-8$$ касательная в точке с абсциссой $$b$$:

$$y=-b^2-8-2b(x-b)=b^2-2bx-8.$$

Так как касательные общие, их угловые коэффициенты равны:

$$2a=-2b,$$

$$a=-b.$$

Приравняем свободные члены:

$$-a^2=b^2-8.$$

Подставим $$a=-b$$:

$$-b^2=b^2-8,$$

$$2b^2=8,$$

$$b^2=4,$$

$$b=\pm 2.$$

Тогда общие касательные:

при $$b=2$$:

$$y=-4x-4,$$

при $$b=-2$$:

$$y=4x-4.$$

Найдём точку их пересечения:

$$4x-4=-4x-4,$$

$$8x=0,$$

$$x=0,$$

$$y=-4.$$

Точка пересечения общих касательных:

$$\left(0;\,-4\right).$$

Ответ

а) $$y=x$$; б) $$\left(0;\,-4\right).$$