Упр.43.61 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) Точка $$A$$ с абсциссой $$-1$$ и точка $$B$$ с абсциссой $$1$$ принадлежат графику функции $$y=2x^3+3x^2-\frac{x}{2}+1$$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой $$AB$$.
б) Точка $$A$$ с абсциссой $$-3$$ и точка $$B$$ с абсциссой $$3$$ принадлежат графику функции $$y=\frac{1}{3}x^3-2x^2-22x-28$$. Найдите сумму абсцисс всех тех точек, в каждой из которых касательная к этому графику параллельна прямой $$AB$$.
а) Найдём угловой коэффициент прямой $$AB$$. Для этого вычислим ординаты точек:
$$y_A=f(-1)=2\cdot(-1)^3+3\cdot(-1)^2-\frac{-1}{2}+1=\frac52,$$
$$y_B=f(1)=2\cdot1^3+3\cdot1^2-\frac12+1=\frac{11}{2}.$$
Тогда
$$k_{AB}=\frac{y_B-y_A}{1-(-1)}=\frac{\frac{11}{2}-\frac52}{2}=\frac32.$$
Производная функции:
$$f'(x)=6x^2+6x-\frac12.$$
Касательная параллельна прямой $$AB$$, если
$$6x^2+6x-\frac12=\frac32,$$
$$6x^2+6x-2=0,$$
$$3x^2+3x-1=0.$$
Сумма корней этого уравнения равна
$$x_1+x_2=-\frac{3}{3}=-1.$$
Ответ: $$-1$$.
б) Найдём угловой коэффициент прямой $$AB$$. Сначала вычислим ординаты точек:
$$y_A=f(-3)=\frac13(-3)^3-2\cdot(-3)^2-22\cdot(-3)-28=11,$$
$$y_B=f(3)=\frac13\cdot3^3-2\cdot3^2-22\cdot3-28=-103.$$
Тогда
$$k_{AB}=\frac{y_B-y_A}{3-(-3)}=\frac{-103-11}{6}=-19.$$
Производная функции:
$$f'(x)=x^2-4x-22.$$
Касательная параллельна прямой $$AB$$, если
$$x^2-4x-22=-19,$$
$$x^2-4x-3=0.$$
Сумма корней этого уравнения равна
$$x_1+x_2=-\frac{-4}{1}=4.$$
Ответ: $$4$$.
