Упр.43.60 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите наименьшее положительное значение $$x$$, при котором касательные к графикам функций $$y=3\cos\frac{5x}{2}$$ и $$y=5\cos\frac{3x}{2}+2$$ параллельны. б) Найдите наибольшее отрицательное значение $$x$$, при котором касательные к графикам функций $$y=2-14\sin 3x$$ и $$y=6\sin 7x$$ параллельны.

а) Найдём производные функций:

$$y=3\cos \frac{5x}{2}, \qquad y’=3\left(\cos \frac{5x}{2}\right)’=-\frac{15}{2}\sin \frac{5x}{2};$$

$$y=5\cos \frac{3x}{2}+2, \qquad y’=5\left(\cos \frac{3x}{2}\right)’=-\frac{15}{2}\sin \frac{3x}{2}.$$

Касательные параллельны, если угловые коэффициенты равны:

$$-\frac{15}{2}\sin \frac{5x}{2}=-\frac{15}{2}\sin \frac{3x}{2}.$$

Отсюда

$$\sin \frac{5x}{2}=\sin \frac{3x}{2}.$$

Используем формулу:

$$\sin A-\sin B=2\sin \frac{A-B}{2}\cos \frac{A+B}{2}.$$

Тогда

$$2\sin \frac{x}{2}\cos 2x=0.$$

Получаем два случая:

1. $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$ Наименьшее положительное значение: $$x=2\pi.$$
2. $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$ Наименьшее положительное значение: $$x=\frac{\pi}{4}.$$

Наименьшее положительное значение из найденных: $$\frac{\pi}{4}.$$

б) Найдём производные:

$$y=2-14\sin 3x, \qquad y’=-42\cos 3x;$$

$$y=6\sin 7x, \qquad y’=42\cos 7x.$$

Касательные параллельны, если

$$-42\cos 3x=42\cos 7x,$$

то есть

$$\cos 3x+\cos 7x=0.$$

По формуле суммы косинусов:

$$2\cos 5x\cos 2x=0.$$

Отсюда:

1. $$\cos 5x=0 \Rightarrow 5x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$ Наибольшее отрицательное значение: $$x=-\frac{\pi}{10}.$$
2. $$\cos 2x=0 \Rightarrow 2x=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$ Наибольшее отрицательное значение: $$x=-\frac{\pi}{4}.$$

Из этих чисел наибольшее отрицательное: $$-\frac{\pi}{10}.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi}{4}$$; б) $$-\frac{\pi}{10}$$.