Упр.43.6 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. $$f(x)=\sqrt{\tg x},\quad a=\frac{\pi}{4}$$
2. $$f(x)=\cos^2 x,\quad a=\frac{\pi}{12}$$
3. $$f(x)=\ctg^4 x,\quad a=\frac{\pi}{4}$$
4. $$f(x)=\sqrt{2-\sin x},\quad a=\frac{\pi}{2}$$

Найдём производные и подставим заданные значения аргумента.

1. $$f(x)=\sqrt{\tg x}, \quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   Пусть $$u=\tg x,$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt{u}\right)’ \cdot (\tg x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot \frac{1}{\cos^2 x}=\frac{1}{2\sqrt{\tg x}\,\cos^2 x}.$$

   Тогда

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{2\sqrt{\tg \frac{\pi}{4}}\cdot \cos^2 \frac{\pi}{4}}=\frac{1}{2\cdot 1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=1.$$

   Ответ: $$k=1.$$

2. $$f(x)=\cos^2 x, \quad a=\frac{\pi}{12}.$$

   $$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$

   Тогда

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{12}\right)=-\sin \frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}.$$

   Ответ: $$k=-\frac{1}{2}.$$

3. $$f(x)=\ctg^4 x, \quad a=\frac{\pi}{4}.$$

   Пусть $$u=\ctg x,$$ тогда $$f(x)=u^4.$$

   $$f'(x)=4u^3\cdot u’ = 4\ctg^3 x \cdot \left(-\frac{1}{\sin^2 x}\right)=-\frac{4\ctg^3 x}{\sin^2 x}.$$

   Тогда

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{4\cdot 1^3}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}=-8.$$

   Ответ: $$k=-8.$$

4. $$f(x)=\sqrt{2-\sin x}, \quad a=\frac{\pi}{2}.$$

   Пусть $$u=2-\sin x,$$ тогда $$f(x)=\sqrt{u}.$$

   $$f'(x)=\left(\sqrt{u}\right)’\cdot (2-\sin x)’=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot(-\cos x)=-\frac{\cos x}{2\sqrt{2-\sin x}}.$$

   Тогда

   $$f’\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{2\sqrt{2-\sin \frac{\pi}{2}}}=0.$$

   Ответ: $$k=0.$$