Упр.43.58 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- а) При каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=ax+1$$ является касательной к графику функции $$y=\sqrt{4x+1}$$?
б) При каких значениях параметра $$a$$ прямая $$y=2x+a$$ является касательной к графику функции $$y=\sqrt{x-1}$$?
а) Для функции $$y=\sqrt{4x+1}$$ найдём производную:
$$y’=\frac{4}{2\sqrt{4x+1}}=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}.$$
Если прямая $$y=ax+1$$ касается графика этой функции, то её угловой коэффициент равен производной в точке касания:
$$a=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}.$$
Кроме того, в точке касания значения функции и прямой совпадают:
$$\sqrt{4x+1}=ax+1.$$
Подставим $$a=\frac{2}{\sqrt{4x+1}}$$:
$$\sqrt{4x+1}=\frac{2x}{\sqrt{4x+1}}+1.$$
Умножим на $$\sqrt{4x+1}$$:
$$4x+1=2x+\sqrt{4x+1}.$$
Обозначим $$t=\sqrt{4x+1}$$, тогда $$t^2=4x+1$$ и из равенства получаем:
$$t^2=2x+t.$$
Но удобнее сразу проверить условие касания через систему:
$$\begin{cases} \sqrt{4x+1}=ax+1,\\ a=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}. \end{cases}$$
Из первого равенства:
$$ax=\sqrt{4x+1}-1.$$
Подставим $$a=\dfrac{2}{\sqrt{4x+1}}$$:
$$\frac{2x}{\sqrt{4x+1}}=\sqrt{4x+1}-1.$$
Умножим на $$\sqrt{4x+1}$$:
$$2x=4x+1-\sqrt{4x+1}.$$
Тогда
$$\sqrt{4x+1}=2x+1.$$
Возведём в квадрат:
$$4x+1=(2x+1)^2=4x^2+4x+1.$$
$$4x^2=0,\quad x=0.$$
Тогда
$$a=\frac{2}{\sqrt{4\cdot 0+1}}=2.$$
б) Для функции $$y=\sqrt{x-1}$$ найдём производную:
$$y’=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}.$$
Прямая $$y=2x+a$$ касается графика, значит её угловой коэффициент равен производной в точке касания:
$$\frac{1}{2\sqrt{x-1}}=2.$$
Отсюда
$$\sqrt{x-1}=\frac14,$$
$$x-1=\frac1{16},$$
$$x=\frac{17}{16}.$$
В точке касания значения функции и прямой равны:
$$\sqrt{x-1}=2x+a.$$
Подставим $$x=\frac{17}{16}$$:
$$\frac14=2\cdot\frac{17}{16}+a,$$
$$\frac14=\frac{17}{8}+a,$$
$$a=\frac14-\frac{17}{8}=-\frac{15}{8}.$$
Ответ
а) $$a=2$$; б) $$a=-\frac{15}{8}$$.
