Упр.43.57 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдите все такие значения параметра $$a$$, при которых касательные, проведённые к графикам функций $$y=f(x)$$ в точке $$\left(a; f(a)\right)$$ и $$y=g(x)$$ в точке $$\left(a; f(a)\right)$$, параллельны: а) $$f(x)=x^6$$; $$g(x)=x^7$$; б) $$f(x)=x^4$$; $$g(x)=x^5$$.

Пусть угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точке $$x=a$$ равны производным этих функций в этой точке. Тогда касательные параллельны, если их угловые коэффициенты равны:

а)

$$f(x)=x^6,\qquad g(x)=x^7.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=6x^5,\qquad g'(x)=7x^6.$$

Требуем равенство угловых коэффициентов:

$$6a^5=7a^6.$$

$$a^5(6-7a)=0.$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac67.$$

При $$a=0$$ обе касательные совпадают с осью $$Ox$$, поэтому подходит и этот случай.

б)

$$f(x)=x^4,\qquad g(x)=x^5.$$

Найдём производные:

$$f'(x)=4x^3,\qquad g'(x)=5x^4.$$

Требуем равенство угловых коэффициентов:

$$4a^3=5a^4.$$

$$a^3(4-5a)=0.$$

Отсюда

$$a=0 \quad \text{или} \quad a=\frac45.$$

При $$a=0$$ касательные также параллельны, значит этот случай подходит.

Ответ

а) $$a=0,\ \frac67$$; б) $$a=0,\ \frac45$$.