Упр.43.56 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Является ли прямая $$y=4x-5$$ касательной к графику заданной функции? Если да, то найдите координаты точки касания: а) $$y=x^3+x^2-x-2$$; б) $$y=x^3-2x^2-x-13$$.

а) Найдём производную функции $$f(x)=x^3+x^2-x-2$$:

$$f'(x)=3x^2+2x-1.$$

Если прямая $$y=4x-5$$ касается графика функции, то её угловой коэффициент равен производной в точке касания:

$$3x^2+2x-1=4.$$

Получаем:

$$3x^2+2x-5=0,$$

$$D=2^2-4\cdot 3\cdot(-5)=64,$$

$$x=\frac{-2\pm 8}{6}.$$

Отсюда $$x_1=1,$$ $$x_2=-\frac{5}{3}.$$

Проверим значения функции и прямой при $$x=1$$:

$$f(1)=1^3+1^2-1-2=-1,$$

$$y(1)=4\cdot 1-5=-1.$$

Значит, прямая является касательной, а точка касания имеет координаты $$\left(1;-1\right).$$

б) Для функции $$f(x)=x^3-2x^2-7x-13$$ имеем:

$$f'(x)=3x^2-4x-7.$$

При касании с прямой $$y=4x-5$$ должно выполняться:

$$3x^2-4x-7=4,$$

$$3x^2-4x-11=0.$$

Тогда

$$D=(-4)^2-4\cdot 3\cdot(-11)=148,$$

$$x=\frac{4\pm \sqrt{148}}{6}=\frac{2\pm \sqrt{37}}{3}.$$

Проверим, совпадают ли значения функции и прямой в этих точках. При $$x=\frac{2-\sqrt{37}}{3}$$ и $$x=\frac{2+\sqrt{37}}{3}$$ получаем, что $$f(x)\ne 4x-5.$$

Следовательно, прямая $$y=4x-5$$ не является касательной к графику данной функции.

Ответ: а) $$\left(1;-1\right)$$; б) не является.