Упр.43.55 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) При каких значениях параметра $$p$$ касательная к графику функции $$y=x^3-px$$ в точке $$x=1$$ проходит через точку $$(2;3)$$? б) При каких значениях параметра $$p$$ касательная к графику функции $$y=x^3+px^2$$ в точке $$x=1$$ проходит через точку $$(3;2)$$?

а) Для функции $$y=x^3-px$$ найдём уравнение касательной в точке $$x=1$$.

$$y(1)=1-p,$$

$$y'(x)=3x^2-p,\quad y'(1)=3-p.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y-(1-p)=(3-p)(x-1).$$

Так как она проходит через точку $$\left(2;3\right),$$ подставим её координаты:

$$3-(1-p)=(3-p)(2-1).$$

$$2+p=3-p,$$

$$2p=1,$$

$$p=\frac12.$$

б) Для функции $$y=x^3+px^2$$ найдём уравнение касательной в точке $$x=1$$.

$$y(1)=1+p,$$

$$y'(x)=3x^2+2px,\quad y'(1)=3+2p.$$

Тогда уравнение касательной:

$$y-(1+p)=(3+2p)(x-1).$$

Так как она проходит через точку $$\left(3;2\right),$$ подставим её координаты:

$$2-(1+p)=(3+2p)(3-1).$$

$$1-p=2(3+2p),$$

$$1-p=6+4p,$$

$$5p=-5,$$

$$p=-1.$$

Ответ: а) $$p=\frac12$$; б) $$p=-1$$.