Упр.43.53 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) На оси $$y$$ взята точка Б, из неё проведены касательные к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}x^2+\frac{\sqrt{3}}{2}$$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $$60^\circ$$. Найдите координаты точки Б.

б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{\sqrt{3}}{6}(1-x^2)$$, которые пересекаются под углом $$120^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.

а) Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$x_0$$. Тогда для функции

$$y=\frac{\sqrt3}{2}x^2+\frac{\sqrt3}{2}$$

имеем

$$y’=\sqrt3\,x.$$

Так как график симметричен относительно оси $$Oy$$, а точка $$B$$ лежит на этой оси, то касательные, проведённые из точки $$B$$, образуют с осью $$Ox$$ равные углы. Если угол между касательными равен $$60^\circ$$, то каждый из них равен

$$\varphi=\frac{180^\circ-60^\circ}{2}=60^\circ.$$

Следовательно, угловой коэффициент касательной равен

$$k=\tan 60^\circ=\sqrt3.$$

Тогда

$$\sqrt3\,x_0=\sqrt3,\qquad x_0=1.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y(1)=\frac{\sqrt3}{2}\cdot 1^2+\frac{\sqrt3}{2}=\sqrt3.$$

Уравнение касательной в точке $$x_0=1$$:

$$y-\sqrt3=\sqrt3(x-1),$$

то есть

$$y=\sqrt3\,x.$$

Точка пересечения этой касательной с осью $$Oy$$ имеет координаты $$B(0;0)$$.

б) Для функции

$$y=\frac{\sqrt3}{6}(1-x^2)$$

имеем

$$y’=-\frac{\sqrt3}{3}x.$$

Касательные пересекаются под углом $$120^\circ$$, значит каждая из них образует с осью $$Ox$$ угол

$$\varphi=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ.$$

Поэтому угловые коэффициенты касательных равны

$$k_1=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt3},\qquad k_2=\tan 150^\circ=-\frac{1}{\sqrt3}.$$

Решаем уравнение для производной:

$$-\frac{\sqrt3}{3}x=\pm \frac{1}{\sqrt3}.$$

Отсюда

$$x=\mp 1.$$

Значит, точки касания имеют абсциссы $$x=1$$ и $$x=-1$$. Найдём соответствующие касательные:

при $$x=1$$:

$$y(1)=\frac{\sqrt3}{6}(1-1)=0,\qquad y'(1)=-\frac{\sqrt3}{3},$$

$$y=-\frac{\sqrt3}{3}(x-1)=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3};$$

при $$x=-1$$:

$$y(-1)=\frac{\sqrt3}{6}(1-1)=0,\qquad y'(-1)=\frac{\sqrt3}{3},$$

$$y=\frac{\sqrt3}{3}(x+1)=\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}.$$

Ответ

а) $$B(0;0)$$.

б) $$y=\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}$$ и $$y=-\frac{\sqrt3}{3}x+\frac{\sqrt3}{3}$$.