Упр.43.52 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) На оси $$y$$ взята точка $$B$$, из неё проведены касательные к графику функции $$y=3-\frac{1}{2}x^2$$. Известно, что эти касательные образуют между собой угол $$90^\circ$$. Найдите координаты точки $$B$$.
б) Составьте уравнения тех касательных к графику функции $$y=0{,}5x^2-2{,}5$$, которые пересекаются под углом $$90^\circ$$ в точке, лежащей на оси $$y$$.

Подробный ответ

а) Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда для функции $$y=3-\frac12x^2$$

$$y’=-x,$$

значит, угловой коэффициент касательной в точке $$x=a$$ равен $$k=-a$$.

Так как касательные симметричны относительно оси $$y$$ и образуют угол $$90^\circ$$, то каждая из них составляет с осью $$x$$ угол $$45^\circ$$. Следовательно,

$$k=\tan 45^\circ=1,$$

откуда

$$-a=1,\qquad a=-1.$$

Найдём уравнение касательной в точке $$a=-1$$:

$$y(-1)=3-\frac12\cdot(-1)^2=3-\frac12=2{,}5,$$

$$y’=1.$$

Тогда

$$y-2{,}5=1(x+1),$$

$$y=x+3{,}5.$$

Точка пересечения касательных лежит на оси $$y$$, значит при $$x=0$$ получаем

$$y=3{,}5.$$

Следовательно, $$B(0;3{,}5).$$

б) Для функции $$y=0{,}5x^2-2{,}5$$ имеем

$$y’=x.$$

Пусть касательные пересекаются в точке на оси $$y$$. Тогда точки касания симметричны относительно оси $$y$$, то есть их абсциссы равны $$a$$ и $$-a$$. Угол между касательными равен $$90^\circ$$, значит каждая из них образует с осью $$x$$ угол $$45^\circ$$, поэтому

$$k=\pm 1.$$

Так как $$k=y’=x$$, получаем

$$a=\pm 1.$$

1) При $$a=1$$:

$$y(1)=0{,}5\cdot1^2-2{,}5=-2,$$

$$y’=1.$$

Уравнение касательной:

$$y+2=1(x-1),$$

$$y=x-3.$$

2) При $$a=-1$$:

$$y(-1)=0{,}5\cdot(-1)^2-2{,}5=-2,$$

$$y’=-1.$$