Упр.43.51 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=x^3$$, $$x>0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{2}{3}$$. б) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=x^3$$, $$x<0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{27}{8}$$.

Пусть касательная проведена в точке $$x=a.$$ Тогда для функции $$y=x^3$$ имеем $$y’=3x^2,$$ значит, уравнение касательной:

$$y=a^3+3a^2(x-a)=3a^2x-2a^3.$$

а)

Так как $$a>0,$$ то касательная пересекает оси в точках

$$x_0=\frac{2a}{3}, \qquad y_0=-2a^3.$$

Площадь треугольника равна

$$S=\frac12 \cdot x_0 \cdot |y_0|=\frac12 \cdot \frac{2a}{3}\cdot 2a^3=\frac{2a^4}{3}.$$

По условию $$\frac{2a^4}{3}=\frac23,$$ откуда

$$a^4=1,\qquad a=1.$$

Тогда

$$y=3\cdot 1^2x-2\cdot 1^3=3x-2.$$

б)

Теперь $$a<0.$$ Тогда абсцисса пересечения с осью $$x$$:

$$x_0=\frac{2a}{3},$$

а длины отрезков на осях равны

$$|x_0|=-\frac{2a}{3}, \qquad |y_0|=-2a^3.$$

Площадь треугольника:

$$S=\frac12 \cdot \left(-\frac{2a}{3}\right)\cdot (-2a^3)=\frac{2a^4}{3}.$$

По условию

$$\frac{2a^4}{3}=\frac{27}{8},$$

откуда

$$a^4=\frac{81}{16},\qquad a=-\frac32.$$

Подставим в уравнение касательной:

$$y=3\left(-\frac32\right)^2x-2\left(-\frac32\right)^3=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$

Ответ

а) $$y=3x-2.$$

б) $$y=\frac{27}{4}x+\frac{27}{4}.$$