Упр.43.50 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

а) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$x>0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$2{,}25$$.
б) Составьте уравнение касательной к графику функции $$y=\frac{1}{x^2}$$, $$x<0$$, отсекающей от осей координат треугольник, площадь которого равна $$\frac{9}{8}$$.

Пусть точка касания имеет абсциссу $$a$$. Тогда для функции $$y=\frac{1}{x^2}$$

$$y’=\left(x^{-2}\right)’=-2x^{-3}=-\frac{2}{x^3}.$$

а)

При $$x>0$$ уравнение касательной в точке $$x=a$$ имеет вид

$$y=\frac{1}{a^2}-\frac{2}{a^3}(x-a)=\frac{3a-2x}{a^3}.$$

Найдём точки пересечения с осями координат:

при $$x=0$$ получаем

$$y=\frac{3a}{a^3}=\frac{3}{a^2};$$

при $$y=0$$ имеем

$$3a-2x=0,\qquad x=\frac{3a}{2}.$$

Площадь отсечённого треугольника равна

$$\frac12\cdot \frac{3a}{2}\cdot \frac{3}{a^2}=2{,}25=\frac94.$$

Отсюда

$$\frac{9}{4a}=\frac94,\qquad a=1.$$

Подставляем в уравнение касательной:

$$y=\frac{3\cdot 1-2x}{1^3}=3-2x.$$

б)

При $$x<0$$ касательная также имеет вид

$$y=\frac{3a-2x}{a^3}.$$

Тогда при $$x=0$$

$$y=\frac{3}{a^2},$$

а при $$y=0$$

$$x=\frac{3a}{2}.$$

Так как $$a<0$$, то длина отрезка на оси $$x$$ равна $$-\frac{3a}{2}$$. По условию площадь треугольника равна $$\frac98$$, значит

$$\frac12\cdot \left(-\frac{3a}{2}\right)\cdot \frac{3}{a^2}=\frac98.$$

Получаем

$$-\frac{9}{4a}=\frac98,\qquad -4a=8,\qquad a=-2.$$

Подставляем это значение:

$$y=\frac{3\cdot(-2)-2x}{(-2)^3}=\frac{-6-2x}{-8}=\frac34+\frac14x.$$

Ответ

а) $$y=3-2x$$; б) $$y=\frac34+\frac14x$$.