Упр.43.49 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Найдите все значения $$x$$, при каждом из которых касательная к графику функции $$y=\cos 7x+7\cos x$$ в точках с абсциссой $$x$$ параллельна касательной к этому же графику в точке с абсциссой

   б) Найдите все значения $$a$$, при каждом из которых касательные к графикам функций $$y=2-14\sin 3x$$ и $$y=6\sin 7x$$ в точках с абсциссой $$x=a$$ параллельны.

а) Для функции $$y=\cos 7x+7\cos x$$ найдём производную:

$$y’=(\cos 7x)’ + 7(\cos x)’=-7\sin 7x-7\sin x=-7(\sin 7x+\sin x).$$

Касательная параллельна касательной в точке с абсциссой $$x=\frac{\pi}{6}$$, если угловые коэффициенты равны, то есть

$$y’\left(\frac{\pi}{6}\right)=0.$$

Тогда

$$-7\left(\sin \frac{7\pi}{6}+\sin \frac{\pi}{6}\right)=-7\left(-\frac12+\frac12\right)=0.$$

Значит, нужно решить уравнение

$$\sin 7x+\sin x=0.$$

Используем формулу суммы синусов:

$$2\sin \frac{7x+x}{2}\cos \frac{7x-x}{2}=0,$$

откуда

$$2\sin 4x\cos 3x=0.$$

Следовательно,

$$\sin 4x=0 \quad \text{или} \quad \cos 3x=0.$$

1) $$\sin 4x=0 \Rightarrow 4x=\pi n,\; x=\frac{\pi n}{4}.$$

2) $$\cos 3x=0 \Rightarrow 3x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{4}\quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3},\; n\in \mathbb{Z}.$$

б) Для функций $$y_1=2-14\sin 3x$$ и $$y_2=6\sin 7x$$ найдём производные:

$$y_1’=-14\cdot 3\cos 3x=-42\cos 3x,$$

$$y_2’=6\cdot 7\cos 7x=42\cos 7x.$$

Касательные параллельны, если

$$-42\cos 3a=42\cos 7a,$$

то есть

$$\cos 7a+\cos 3a=0.$$

Применим формулу суммы косинусов:

$$2\cos \frac{7a+3a}{2}\cos \frac{7a-3a}{2}=0,$$

получаем

$$2\cos 5a\cos 2a=0.$$

Значит,

$$\cos 5a=0 \quad \text{или} \quad \cos 2a=0.$$

1) $$\cos 5a=0 \Rightarrow 5a=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}.$$

2) $$\cos 2a=0 \Rightarrow 2a=\frac{\pi}{2}+\pi n,\; a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

Следовательно,

$$a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}\quad \text{или} \quad a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ: а) $$x=\frac{\pi n}{4}$$ или $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{3}$$; б) $$a=\frac{\pi}{10}+\frac{\pi n}{5}$$ или $$a=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$, $$n\in \mathbb{Z}$$.