Упр.43.48 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
а) $$f(x)=\sqrt{4x-3}, \quad B(2;3).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{4x-3}\right)’=\frac{4}{2\sqrt{4x-3}}=\frac{2}{\sqrt{4x-3}}.$$
Уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$:
$$y=\sqrt{4a-3}+\frac{2}{\sqrt{4a-3}}(x-a).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(2;3)$$, подставим её координаты:
$$3=\sqrt{4a-3}+\frac{2}{\sqrt{4a-3}}(2-a).$$
Умножим на $$\sqrt{4a-3}$$:
$$3\sqrt{4a-3}=4a-3+4-2a,$$
$$3\sqrt{4a-3}=2a+1.$$
Возведём в квадрат:
$$9(4a-3)=(2a+1)^2,$$
$$36a-27=4a^2+4a+1,$$
$$4a^2-32a+28=0,$$
$$a^2-8a+7=0,$$
$$a_1=1,\quad a_2=7.$$
Найдём уравнения касательных:
При $$a=1$$:
$$y=\sqrt{4\cdot1-3}+\frac{2}{\sqrt{4\cdot1-3}}(x-1)=1+2(x-1)=2x-1.$$
При $$a=7$$:
$$y=\sqrt{4\cdot7-3}+\frac{2}{\sqrt{4\cdot7-3}}(x-7)=\sqrt{25}+\frac{2}{5}(x-7)=5+\frac{2}{5}x-\frac{14}{5}=\frac{2}{5}x+\frac{11}{5}.$$
б) $$f(x)=\sqrt{2x+1}, \quad B(1;2).$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{2x+1}\right)’=\frac{1}{\sqrt{2x+1}}.$$
Уравнение касательной в точке с абсциссой $$a$$:
$$y=\sqrt{2a+1}+\frac{1}{\sqrt{2a+1}}(x-a).$$
Так как касательная проходит через точку $$B(1;2)$$, подставим её координаты:
$$2=\sqrt{2a+1}+\frac{1}{\sqrt{2a+1}}(1-a).$$
Умножим на $$\sqrt{2a+1}$$:
$$2\sqrt{2a+1}=2a+1+1-a,$$
$$2\sqrt{2a+1}=a+2.$$
Возведём в квадрат:
$$4(2a+1)=(a+2)^2,$$
$$8a+4=a^2+4a+4,$$
$$a^2-4a=0,$$
$$a(a-4)=0,$$
$$a_1=0,\quad a_2=4.$$
Найдём уравнения касательных:
При $$a=0$$:
$$y=\sqrt{2\cdot0+1}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot0+1}}(x-0)=1+x=x+1.$$
При $$a=4$$:
$$y=\sqrt{2\cdot4+1}+\frac{1}{\sqrt{2\cdot4+1}}(x-4)=3+\frac{1}{3}(x-4)=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}.$$
Ответ
а) $$y=2x-1,$$ $$y=\frac{2}{5}x+\frac{11}{5}.$$
б) $$y=x+1,$$ $$y=\frac{1}{3}x+\frac{5}{3}.$$
