Упр.43.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- Через данную точку $$B$$ проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$: а) $$f(x)=\sqrt{3-x}$$, $$B(-2; 3)$$; б) $$f(x)=\sqrt{3-x}$$, $$B(4; 0)$$.
Для функции $$f(x)=\sqrt{3-x}$$ найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{3-x}\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$
Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x=a$$ имеет вид
$$y=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(x-a).$$
а) Через точку $$B(-2;3)$$
Подставим координаты точки $$B$$ в уравнение касательной:
$$3=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(-2-a).$$
После преобразований получаем:
$$3=\frac{6-a+2}{2\sqrt{3-a}}=\frac{8-a}{2\sqrt{3-a}},$$
$$6\sqrt{3-a}=8-a,$$
$$36(3-a)=(8-a)^2,$$
$$108-36a=64-16a+a^2,$$
$$a^2+20a-44=0.$$
Решаем квадратное уравнение:
$$D=20^2+4\cdot 44=576=24^2,$$
$$a_1=\frac{-20-24}{2}=-22,\qquad a_2=\frac{-20+24}{2}=2.$$
Находим уравнения касательных:
при $$a=-22$$:
$$y=\sqrt{25}-\frac{1}{2\cdot 5}(x+22)=5-\frac{1}{10}(x+22)=2{,}8-0{,}1x;$$
при $$a=2$$:
$$y=\sqrt{1}-\frac{1}{2}(x-2)=1-\frac{x-2}{2}=2-0{,}5x.$$
б) Через точку $$B(4;0)$$
Подставим координаты точки $$B$$ в уравнение касательной:
$$0=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(4-a).$$
Преобразуем:
$$0=\frac{6-a-(4-a)}{2\sqrt{3-a}}=\frac{2}{2\sqrt{3-a}},$$
откуда получаем
$$2-a=0,\qquad a=2.$$
Тогда касательная имеет вид
$$y=\sqrt{1}-\frac{1}{2}(x-2)=2-0{,}5x.$$
Ответ
а) $$y=2{,}8-0{,}1x$$ и $$y=2-0{,}5x$$; б) $$y=2-0{,}5x$$.
