Упр.43.47 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Через данную точку $$B$$ проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$: а) $$f(x)=\sqrt{3-x}$$, $$B(-2; 3)$$; б) $$f(x)=\sqrt{3-x}$$, $$B(4; 0)$$.

Для функции $$f(x)=\sqrt{3-x}$$ найдём производную:

$$f'(x)=\left(\sqrt{3-x}\right)’=-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}.$$

Уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x=a$$ имеет вид

$$y=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(x-a).$$

а) Через точку $$B(-2;3)$$

Подставим координаты точки $$B$$ в уравнение касательной:

$$3=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(-2-a).$$

После преобразований получаем:

$$3=\frac{6-a+2}{2\sqrt{3-a}}=\frac{8-a}{2\sqrt{3-a}},$$

$$6\sqrt{3-a}=8-a,$$

$$36(3-a)=(8-a)^2,$$

$$108-36a=64-16a+a^2,$$

$$a^2+20a-44=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=20^2+4\cdot 44=576=24^2,$$

$$a_1=\frac{-20-24}{2}=-22,\qquad a_2=\frac{-20+24}{2}=2.$$

Находим уравнения касательных:

при $$a=-22$$:

$$y=\sqrt{25}-\frac{1}{2\cdot 5}(x+22)=5-\frac{1}{10}(x+22)=2{,}8-0{,}1x;$$

при $$a=2$$:

$$y=\sqrt{1}-\frac{1}{2}(x-2)=1-\frac{x-2}{2}=2-0{,}5x.$$

б) Через точку $$B(4;0)$$

Подставим координаты точки $$B$$ в уравнение касательной:

$$0=\sqrt{3-a}-\frac{1}{2\sqrt{3-a}}(4-a).$$

Преобразуем:

$$0=\frac{6-a-(4-a)}{2\sqrt{3-a}}=\frac{2}{2\sqrt{3-a}},$$

откуда получаем

$$2-a=0,\qquad a=2.$$

Тогда касательная имеет вид

$$y=\sqrt{1}-\frac{1}{2}(x-2)=2-0{,}5x.$$

Ответ

а) $$y=2{,}8-0{,}1x$$ и $$y=2-0{,}5x$$; б) $$y=2-0{,}5x$$.