Упр.43.46 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Через данную точку B проведите касательную к графику функции $$y=f(x)$$:

а) $$f(x)=-x^2-7x+8$$, $$B(1;1)$$;

б) $$f(x)=-x^2-7x+8$$, $$B(0;9)$$.

Найдём производную функции:

$$f(x)=-x^2-7x+8,$$

$$f'(x)=-2x-7.$$

а) Через точку $$B(1;1)$$

Пусть касательная проведена в точке с абсциссой $$a$$. Тогда её уравнение:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Подставим:

$$y=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(x-a).$$

Так как точка $$B(1;1)$$ лежит на касательной, получаем:

$$1=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(1-a).$$

Упростим:

$$1=8-2a-7+a^2,$$

$$a^2-2a=0,$$

$$a(a-2)=0,$$

$$a=0 \text{ или } a=2.$$

Тогда:

при $$a=0$$

$$y=f(0)+f'(0)x=8-7x;$$

при $$a=2$$

$$y=f(2)+f'(2)(x-2)=(-10)+(-11)(x-2)=12-11x.$$

б) Через точку $$B(0;9)$$

Аналогично:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a).$$

Так как точка $$B(0;9)$$ лежит на касательной, имеем:

$$9=(-a^2-7a+8)+(-2a-7)(0-a).$$

Упростим:

$$9=8+a^2,$$

$$a^2=1,$$

$$a=\pm 1.$$

При $$a=-1$$:

$$y=f(-1)+f'(-1)(x+1)=14-5(x+1)=9-5x.$$

При $$a=1$$:

$$y=f(1)+f'(1)(x-1)=0-9(x-1)=9-9x.$$

Ответ

а) $$y=8-7x$$, $$y=12-11x$$;

б) $$y=9-5x$$, $$y=9-9x$$.