Упр.43.44 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Составьте уравнение параболы $$y=x^2+bx+c$$, касающейся прямой $$y=-x$$ в точке $$M(1;1)$$.

Пусть парабола имеет вид $$y=x^2+bx+c.$$

Так как прямая $$y=-x$$ касается параболы в точке $$M(1;-1),$$ то эта точка принадлежит параболе и угловой коэффициент касательной в ней равен $$-1.$$

Найдём производную:

$$y’=2x+b.$$

В точке касания $$x=1,$$ значит

$$2\cdot 1+b=-1,$$

откуда

$$b=-3.$$

Теперь подставим координаты точки $$M(1;-1)$$ в уравнение параболы:

$$-1=1^2+(-3)\cdot 1+c,$$

$$-1=1-3+c,$$

$$-1=-2+c,$$

откуда

$$c=1.$$

Следовательно, искомое уравнение параболы:

$$y=x^2-3x+1.$$

Ответ: $$y=x^2-3x+1.$$