Упр.43.42 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
Составьте уравнение той касательной к графику функции $$y=f(x)$$, которая образует с осью $$x$$ заданный угол $$\alpha$$, если:
а) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x$$, $$\alpha=60^\circ$$;
б) $$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3$$, $$\alpha=30^\circ$$.
а) Найдём производную функции:
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{3}}x^3-3\sqrt{3}x,$$
$$f'(x)=\frac{3x^2}{\sqrt{3}}-3\sqrt{3}=\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}.$$
Угол наклона касательной равен $$60^\circ,$$ значит её угловой коэффициент:
$$k=\tan 60^\circ=\sqrt{3}.$$
Тогда
$$\sqrt{3}x^2-3\sqrt{3}=\sqrt{3},$$
$$x^2-3=1,$$
$$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$
Для $$x=2$$:
$$f(2)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot 8-3\sqrt{3}\cdot 2=\frac{8}{\sqrt{3}}-6\sqrt{3}=-\frac{10}{\sqrt{3}},$$
$$f'(2)=\sqrt{3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=-\frac{10}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}(x-2)=\sqrt{3}x-\frac{16}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}x-\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
Для $$x=-2$$:
$$f(-2)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot (-8)-3\sqrt{3}\cdot (-2)=-\frac{8}{\sqrt{3}}+6\sqrt{3}=\frac{10}{\sqrt{3}},$$
$$f'(-2)=\sqrt{3}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\frac{10}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}(x+2)=\sqrt{3}x+\frac{16}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}x+\frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
б) Найдём производную функции:
$$f(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}x-\frac{\sqrt{3}}{3}x^3,$$
$$f'(x)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\sqrt{3}x^2=\frac{4-3x^2}{\sqrt{3}}.$$
Угол наклона касательной равен $$30^\circ,$$ значит
$$k=\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Тогда
$$\frac{4-3x^2}{\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}},$$
$$4-3x^2=1,$$
$$3x^2=3,\quad x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Для $$x=1$$:
$$f(1)=\frac{4}{\sqrt{3}}-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3},$$
$$f'(1)=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}(x-1)=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x+\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Для $$x=-1$$:
$$f(-1)=-\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{3}}{3}=-\sqrt{3},$$
$$f'(-1)=\frac{1}{\sqrt{3}}.$$
Уравнение касательной:
$$y=-\sqrt{3}+\frac{1}{\sqrt{3}}(x+1)=\frac{1}{\sqrt{3}}x-\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}x-\frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
Ответ
а) $$y=\sqrt{3}x\pm \frac{16\sqrt{3}}{3}.$$
б) $$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}.$$
