Упр.43.41 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) На графике функции $$y=x^3-3x^2+x+1$$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$45^\circ$$. Составьте уравнения этих касательных.
   б) На графике функции $$y=\frac{3x+7}{x+2}$$ найдите точки, в которых касательная образует с положительным направлением оси абсцисс угол $$135^\circ$$. Составьте уравнения этих касательных.

а) Найдём производную функции $$y=x^3-3x^2+x+1$$:

$$y’=3x^2-6x+1.$$

Касательная образует с положительным направлением оси $$Ox$$ угол $$45^\circ$$, значит её угловой коэффициент равен

$$k=\tan 45^\circ=1.$$

Тогда

$$3x^2-6x+1=1,$$

$$3x^2-6x=0,$$

$$3x(x-2)=0,$$

$$x=0 \text{ или } x=2.$$

Найдём точки касания:

$$y(0)=0^3-3\cdot 0^2+0+1=1,$$

$$y(2)=2^3-3\cdot 2^2+2+1=8-12+3=-1.$$

Уравнения касательных:

$$y-1=1(x-0), \quad y=x+1,$$

$$y+1=1(x-2), \quad y=x-3.$$

Итак, точки касания: $$(0;1)$$ и $$(2;-1)$$.

б) Найдём производную функции $$y=\dfrac{3x+7}{x+2}$$:

$$y’=\frac{(3x+7)'(x+2)-(3x+7)(x+2)’}{(x+2)^2}=\frac{3(x+2)-(3x+7)}{(x+2)^2}=-\frac{1}{(x+2)^2}.$$

Касательная образует с положительным направлением оси $$Ox$$ угол $$135^\circ$$, значит

$$k=\tan 135^\circ=-1.$$

Тогда

$$-\frac{1}{(x+2)^2}=-1,$$

$$\frac{1}{(x+2)^2}=1,$$

$$(x+2)^2=1,$$

$$x+2=\pm 1,$$

$$x=-3 \text{ или } x=-1.$$

Найдём точки касания:

$$y(-3)=\frac{3\cdot(-3)+7}{-3+2}=\frac{-9+7}{-1}=2,$$

$$y(-1)=\frac{3\cdot(-1)+7}{-1+2}=\frac{-3+7}{1}=4.$$

Уравнения касательных:

$$y-2=-1(x+3), \quad y=-x-1,$$

$$y-4=-1(x+1), \quad y=3-x.$$

Итак, точки касания: $$(-3;2)$$ и $$(-1;4)$$.

Ответ

а) $$(0;1)$$, $$y=x+1$$; $$(2;-1)$$, $$y=x-3$$.

б) $$(-3;2)$$, $$y=-x-1$$; $$(-1;4)$$, $$y=3-x$$.