Упр.43.40 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Найдём уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$, где её наклон равен наклону прямой $$y=2-x$$, то есть $$k=-1$$.

а) $$y=\arccos x$$

Производная функции:

$$y’=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Приравниваем её к угловому коэффициенту касательной:

$$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=-1.$$

Отсюда

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1,\qquad \sqrt{1-x^2}=1,$$

$$1-x^2=1,\qquad x^2=0,\qquad x_0=0.$$

Найдём ординату точки касания:

$$y(0)=\arccos 0=\frac{\pi}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{\pi}{2}=-1(x-0),$$

$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$

б) $$y=\operatorname{arcctg} x$$

Производная функции:

$$y’=-\frac{1}{1+x^2}.$$

Приравниваем к $$-1$$:

$$-\frac{1}{1+x^2}=-1.$$

Тогда

$$\frac{1}{1+x^2}=1,\qquad 1+x^2=1,$$

$$x^2=0,\qquad x_0=0.$$

Найдём значение функции в точке касания:

$$y(0)=\operatorname{arcctg}0=\frac{\pi}{2}.$$

Уравнение касательной:

$$y-\frac{\pi}{2}=-1(x-0),$$

$$y=\frac{\pi}{2}-x.$$

Ответ: а) $$y=\frac{\pi}{2}-x$$; б) $$y=\frac{\pi}{2}-x$$.