Упр.43.43 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. а) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции $$y=\frac{3x-1}{x+8}$$, которые образуют угол $$45^\circ$$ с осью х. б) Вычислите координаты точек пересечения с осью у тех касательных к графику функции $$y=\frac{x+4}{x-5}$$, которые образуют угол $$135^\circ$$ с осью х.

Для касательной к графику функции угол наклона к оси $$x$$ задаёт её угловой коэффициент: $$k=\tan \varphi.$$

а)

$$y=\frac{3x-1}{x+8}, \qquad \varphi=45^\circ, \qquad \tan 45^\circ=1.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(3x-1)'(x+8)-(3x-1)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{3(x+8)-(3x-1)}{(x+8)^2} =\frac{25}{(x+8)^2}.$$

Так как касательная образует угол $$45^\circ$$ с осью $$x$$, то

$$\frac{25}{(x+8)^2}=1.$$

Отсюда

$$(x+8)^2=25,\qquad x+8=\pm 5,$$

значит, $$x_1=-13$$, $$x_2=-3$$.

Найдём ординаты точек касания:

$$y(-13)=\frac{3\cdot(-13)-1}{-13+8}=\frac{-40}{-5}=8,$$

$$y(-3)=\frac{3\cdot(-3)-1}{-3+8}=\frac{-10}{5}=-2.$$

Уравнения касательных:

$$y=8+1(x+13)=x+21,$$

$$y=-2+1(x+3)=x+1.$$

Точки пересечения с осью $$y$$ найдём при $$x=0$$:

$$y(0)=21,\qquad y(0)=1.$$

б)

$$y=\frac{x+4}{x-5}, \qquad \varphi=135^\circ, \qquad \tan 135^\circ=-1.$$

Найдём производную:

$$y’=\frac{(x+4)'(x-5)-(x+4)(x-5)’}{(x-5)^2} =\frac{(x-5)-(x+4)}{(x-5)^2} =-\frac{9}{(x-5)^2}.$$

Для касательной имеем:

$$-\frac{9}{(x-5)^2}=-1.$$

Тогда

$$(x-5)^2=9,\qquad x-5=\pm 3,$$

откуда $$x_1=2$$, $$x_2=8$$.

Найдём ординаты точек касания:

$$y(2)=\frac{2+4}{2-5}=\frac{6}{-3}=-2,$$

$$y(8)=\frac{8+4}{8-5}=\frac{12}{3}=4.$$

Уравнения касательных:

$$y=-2-1(x-2)=-x,$$

$$y=4-1(x-8)=12-x.$$

Точки пересечения с осью $$y$$ при $$x=0$$:

$$y(0)=0,\qquad y(0)=12.$$

Ответ: а) $$(0;21),\ (0;1)$$; б) $$(0;0),\ (0;12)$$.