Упр.43.38 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Для прямой $$y=2-x$$ угловой коэффициент равен $$k=-1$$.

а)

$$y=\frac{3x+7}{x-3}$$

Найдём точки касания, при которых производная равна $$-1$$:

$$y’=\frac{(3x+7)'(x-3)-(3x+7)(x-3)’}{(x-3)^2} =\frac{3(x-3)-(3x+7)}{(x-3)^2} =\frac{-16}{(x-3)^2}.$$

Приравниваем к $$-1$$:

$$-\frac{16}{(x-3)^2}=-1 \quad\Rightarrow\quad (x-3)^2=16.$$

Отсюда:

$$x-3=-4 \Rightarrow x=-1, \qquad x-3=4 \Rightarrow x=7.$$

1) При $$x=-1$$:

$$y(-1)=\frac{3\cdot(-1)+7}{-1-3}=\frac{4}{-4}=-1.$$

Уравнение касательной:

$$y-(-1)=-1\bigl(x-(-1)\bigr),$$

то есть

$$y+1=-x-1 \Rightarrow y=-x-2.$$

2) При $$x=7$$:

$$y(7)=\frac{3\cdot 7+7}{7-3}=\frac{28}{4}=7.$$

Уравнение касательной:

$$y-7=-1(x-7),$$

то есть

$$y=14-x.$$

б)

$$y=\frac{x+9}{x+8}$$

Найдём точки касания, при которых производная равна $$-1$$:

$$y’=\frac{(x+9)'(x+8)-(x+9)(x+8)’}{(x+8)^2} =\frac{(x+8)-(x+9)}{(x+8)^2} =-\frac{1}{(x+8)^2}.$$

Приравниваем к $$-1$$:

$$-\frac{1}{(x+8)^2}=-1 \quad\Rightarrow\quad (x+8)^2=1.$$

Отсюда:

$$x+8=-1 \Rightarrow x=-9, \qquad x+8=1 \Rightarrow x=-7.$$

1) При $$x=-9$$:

$$y(-9)=\frac{-9+9}{-9+8}=0.$$

Уравнение касательной:

$$y-0=-1(x+9),$$

то есть

$$y=-x-9.$$

2) При $$x=-7$$:

$$y(-7)=\frac{-7+9}{-7+8}=2.$$

Уравнение касательной:

$$y-2=-1(x+7),$$

то есть

$$y=-x-5.$$

Ответ

а) $$y=-x-2$$, $$y=14-x$$; б) $$y=-x-9$$, $$y=-x-5$$.