Упр.43.37 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)
- К графику заданной функции проведите касательную так, чтобы она была параллельна прямой $$y=2-x$$: а) $$y=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-x$$; б) $$y=\frac{x^3}{3}+x^2-x$$.
Найдём точки графика, в которых касательная параллельна прямой $$y=2-x.$$ У этой прямой угловой коэффициент равен $$k=-1.$$
а)
$$y=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2-x.$$
Производная:
$$y’=x^2+5x-1.$$
Для параллельности касательной прямой $$y=2-x$$ нужно, чтобы
$$x^2+5x-1=-1,$$
откуда
$$x^2+5x=0,$$
$$x(x+5)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=-5.$$
Найдём уравнения касательных.
При $$x=0$$:
$$y(0)=0,$$
$$y'(0)=-1,$$
$$y-0=-1(x-0),$$
$$y=-x.$$
При $$x=-5$$:
$$y(-5)=\frac{(-5)^3}{3}+\frac{5}{2}\cdot(-5)^2-(-5)=\frac{-125}{3}+\frac{125}{2}+5=\frac{155}{6},$$
$$y'(-5)=-1,$$
$$y-\frac{155}{6}=-1(x+5),$$
$$y=\frac{155}{6}-x-5=\frac{125}{6}-x=20\frac{5}{6}-x.$$
б)
$$y=\frac{x^3}{3}+x^2-x.$$
Производная:
$$y’=x^2+2x-1.$$
Требуем:
$$x^2+2x-1=-1,$$
$$x^2+2x=0,$$
$$x(x+2)=0,$$
$$x=0 \text{ или } x=-2.$$
Найдём касательные.
При $$x=0$$:
$$y(0)=0,$$
$$y'(0)=-1,$$
$$y=-x.$$
При $$x=-2$$:
$$y(-2)=\frac{(-2)^3}{3}+(-2)^2-(-2)=-\frac{8}{3}+4+2=\frac{10}{3},$$
$$y'(-2)=-1,$$
$$y-\frac{10}{3}=-1(x+2),$$
$$y=\frac{10}{3}-x-2=\frac{4}{3}-x=1\frac{1}{3}-x.$$
Ответ
а) $$y=-x,$$ $$y=20\frac{5}{6}-x.$$
б) $$y=-x,$$ $$y=1\frac{1}{3}-x.$$
