Упр.43.36 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

Задача

а) $$f(x)-\cos^2 x$$, $$y=-x+3$$;

б) $$f(x)=\operatorname{arcctg}(x^2)$$, $$y=-3$$;

в) $$f(x)=\sqrt{\sin x}$$, $$y=5$$;

г) $$f(x)=(\arcsin x)^2$$, $$y=-5$$.

Подробный ответ

Найдём точки, в которых касательная к графику функции параллельна заданной прямой. Для этого приравняем производную функции угловому коэффициенту прямой.

а) $$f(x)=\cos^2 x,\quad y=-x+3$$
Угловой коэффициент прямой: $$k=-1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\cos x\cdot(-\sin x)=-2\sin x\cos x=-\sin 2x.$$
Приравниваем к $$-1$$:
$$-\sin 2x=-1 \quad \Rightarrow \quad \sin 2x=1.$$
Тогда
$$2x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb{Z},$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
б) $$f(x)=\operatorname{arcctg}(x^2),\quad y=-3$$
Прямая горизонтальна, значит $$k=0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\operatorname{arcctg}(x^2)\right)’=-\frac{1}{1+x^4}\cdot 2x=-\frac{2x}{1+x^4}.$$
Приравниваем к нулю:
$$-\frac{2x}{1+x^4}=0 \quad \Rightarrow \quad 2x=0 \quad \Rightarrow \quad x=0.$$
в) $$f(x)=\sqrt{\sin x},\quad y=5$$
Прямая горизонтальна, значит $$k=0.$$
Область определения функции: $$\sin x\ge 0.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=\left(\sqrt{\sin x}\right)’=\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$\frac{\cos x}{2\sqrt{\sin x}}=0 \quad \Rightarrow \quad \cos x=0.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.$$
г) $$f(x)=(\arcsin x)^2,\quad y=-5$$
Прямая горизонтальна, значит $$k=0.$$
Область определения: $$-1\le x\le 1.$$
Найдём производную:
$$f'(x)=2\arcsin x\cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}.$$
Приравниваем к нулю:
$$\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=0 \quad \Rightarrow \quad \arcsin x=0 \quad \Rightarrow \quad x=0.$$