Упр.43.34 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. В какой точке графика заданной функции $$y=f(x)$$ касательная параллельна заданной прямой:
   а) $$y=3+x,\quad f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4$$;
   б) $$y=0,\quad f(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+8$$;
   в) $$y=x-3,\quad f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x-7$$;
   г) $$y=2,\quad f(x)=\frac{5}{4}x-x^3+6$$?

Касательная к графику функции параллельна заданной прямой тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, то есть $$f'(x)=k.$$

1. $$f(x)=\frac{x^3}{3}-3x^2+10x-4,\qquad y=3+x,\qquad k=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=x^2-6x+10.$$

   Приравниваем к угловому коэффициенту прямой:

   $$x^2-6x+10=1,$$

   $$x^2-6x+9=0,$$

   $$\left(x-3\right)^2=0,$$

   $$x=3.$$

2. $$f(x)=\frac{x^4}{4}-x^2+8,\qquad y=0,\qquad k=0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=x^3-2x.$$

   Приравниваем к нулю:

   $$x^3-2x=0,$$

   $$x\left(x^2-2\right)=0,$$

   $$x\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)=0.$$

   Отсюда

   $$x=0,\quad x=\sqrt{2},\quad x=-\sqrt{2}.$$

3. $$f(x)=\frac{x^3}{3}-x^2+2x-7,\qquad y=x-3,\qquad k=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=x^2-2x+2.$$

   Приравниваем к угловому коэффициенту:

   $$x^2-2x+2=1,$$

   $$x^2-2x+1=0,$$

   $$\left(x-1\right)^2=0,$$

   $$x=1.$$

4. $$f(x)=\frac{5}{4}x^4-x^3+6,\qquad y=2,\qquad k=0.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=5x^3-3x^2.$$

   Приравниваем к нулю:

   $$5x^3-3x^2=0,$$

   $$x^2\left(5x-3\right)=0.$$

   Отсюда

   $$x=0,\quad x=\frac{3}{5}.$$

Ответ: а) $$x=3$$; б) $$x=0,\ \pm\sqrt{2}$$; в) $$x=1$$; г) $$x=0,\ \frac{3}{5}$$.