Упр.43.33 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Напишите уравнения тех касательных к графику функции $$y=\arcsin x$$, которые параллельны заданной прямой: а) $$y=2x-3$$; б) $$y=x+2$$.

Для функции $$y=\arcsin x$$ найдём производную:

$$y’=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.$$

Касательные параллельны заданной прямой тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны.

а) Прямая $$y=2x-3$$

Здесь угловой коэффициент равен $$2$$, значит,

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=2.$$

Тогда

$$\sqrt{1-x^2}=\frac12,$$

$$1-x^2=\frac14,$$

$$x^2=\frac34,$$

$$x=\pm\frac{\sqrt3}{2}.$$

Найдём уравнения касательных.

При $$x_1=-\frac{\sqrt3}{2}$$ имеем

$$y_1=\arcsin\left(-\frac{\sqrt3}{2}\right)=-\frac{\pi}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=-\frac{\pi}{3}+2\left(x+\frac{\sqrt3}{2}\right)=2x-\frac{\pi}{3}+\sqrt3.$$

При $$x_2=\frac{\sqrt3}{2}$$ имеем

$$y_2=\arcsin\left(\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{\pi}{3}.$$

Уравнение касательной:

$$y=\frac{\pi}{3}+2\left(x-\frac{\sqrt3}{2}\right)=2x+\frac{\pi}{3}-\sqrt3.$$

б) Прямая $$y=x+2$$

Здесь угловой коэффициент равен $$1$$, значит,

$$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=1.$$

Отсюда

$$\sqrt{1-x^2}=1,$$

$$1-x^2=1,$$

$$x=0.$$

Точка касания: $$\left(0,\,\arcsin 0\right)=\left(0,0\right).$$

Уравнение касательной:

$$y=0+1(x-0)=x.$$

Ответ

а) $$y=2x-\frac{\pi}{3}+\sqrt3,$$ $$y=2x+\frac{\pi}{3}-\sqrt3.$$

б) $$y=x.$$