Упр.43.32 ГДЗ Мордковича 10 класс профильный уровень (Алгебра)

1. Напишите уравнения тех касательных к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-2$$, которые параллельны заданной прямой: а) $$y=x-3$$; б) $$y=9x-5$$.

Найдём уравнения касательных к графику функции $$y=\frac{x^3}{3}-2$$, параллельных заданным прямым. Для этого используем формулу касательной:

$$y=f(a)+f'(a)(x-a),$$

где $$a$$ — абсцисса точки касания. Производная функции:

$$f'(x)=x^2.$$

а) Прямая $$y=x-3$$

Угловой коэффициент заданной прямой равен $$1$$, значит, для касательной должно быть

$$f'(a)=1,$$

то есть

$$a^2=1 \Rightarrow a=\pm 1.$$

1) При $$a=-1$$:

$$f(-1)=\frac{(-1)^3}{3}-2=-\frac13-2=-\frac73,$$

$$y=-\frac73+1(x+1)=x-\frac43.$$

2) При $$a=1$$:

$$f(1)=\frac{1^3}{3}-2=\frac13-2=-\frac53,$$

$$y=-\frac53+1(x-1)=x-\frac83.$$

б) Прямая $$y=9x-5$$

Угловой коэффициент равен $$9$$, значит,

$$f'(a)=9,$$

то есть

$$a^2=9 \Rightarrow a=\pm 3.$$

1) При $$a=-3$$:

$$f(-3)=\frac{(-3)^3}{3}-2=\frac{-27}{3}-2=-9-2=-11,$$

$$y=-11+9(x+3)=9x+16.$$

2) При $$a=3$$:

$$f(3)=\frac{3^3}{3}-2=\frac{27}{3}-2=9-2=7,$$

$$y=7+9(x-3)=9x-20.$$

Ответ

а) $$y=x-\frac43,$$ $$y=x-\frac83.$$

б) $$y=9x+16,$$ $$y=9x-20.$$